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前言页 1

第一章 正交变换与仿射变换 1

1 点变换 1

1.1 点变换的定义 1

1.2 变换的乘积 2

1.3 恒等变换与逆变换 3

2 正交变换 4

2.1 实例 4

2.2 正交变换 8

2.3 正交变换与坐标变换的关系 15

3 仿射变换 17

3.1 二平面间的透视仿射对应 17

3.2 仿射对应与仿射变换 19

3.3 仿射坐标系 20

3.4 仿射变换的代数表示式 23

3.5 图形的仿射性质 26

3.6 仿射变换的特例 31

第二章 射影平面 36

4 中心射影与无穷远元素 36

4.1 中心射影 36

4.2 无穷远元素 38

4.3 一维与二维射影空间的概念与模型 39

4.4 图形的射影性质 41

4.5 利用投影到无穷远证明几何题 43

5 笛沙格(Desargues)透视定理 45

6 齐次点坐标 50

6.1 齐次点坐标 50

6.2 直线的齐次坐标方程 52

6.3 齐次点坐标的应用 53

7 线坐标 63

7.1 齐次线坐标 63

7.2 非齐次线坐标 64

8 对偶原则 68

8.1 地偶图形 68

8.2 对偶命题与对偶原则 72

8.3 代数对偶 75

9 复元素 79

9.1 二维空间的复元素 79

9.2 二维共轭复元素 81

第三章 射影变换 84

10 交比与调和比 84

10.1 点列的四点的交比与调和比 84

10.2 交比的代数表示 87

10.3 共线四点的调和比 92

10.4 线束的四直线的交比与调和比 94

11 完全四点形与完全四线形的调和性 100

12 一维基本形的射影对应 105

12.1 透视对应与射影对应 105

12.2 点列间射影对应的代数表示 110

13 一维射影变换 115

14 一维基本形的对合 118

15 二维射影变换 124

15.1 非奇线性对应与射影对应 125

15.2 射影变换及其不变元素 129

16 射影坐标 133

16.1 一维射影坐标 133

16.2 二维射影坐标 136

17 变换群的概念 144

第四章 变换群与几何学 144

18 平面上的几个变换群 147

19 变换群与相应的几何学 153

10 射影、仿射、欧氏三种几何学的比较 156

第五章 二次曲线的射影理论 162

21 二次曲线的射影定义 162

21.1 二阶曲线与二级曲线 162

21.2 二阶曲线与直线的相关位置 166

21.3 二阶曲线与二级曲线的关系 168

22 巴斯加定理和布利安桑定理 172

23 极点与极线、配极变换 178

23.1 极点、极线的定义及求法 178

23.2 配极原则 180

23.3 配极变换 183

24 二阶曲线的射影分类 185

24.1 二阶曲线的奇异点 186

24.2 二阶曲线的射影分类 187

25 二阶曲线上的射影变换与对合 193

25.1 二阶曲线上的射影变换 193

25.2 二阶曲线上的对合 196

第六章 二次曲线的仿射理论与度量理论 199

26 二阶曲线的中心、直径、渐近线 199

26.1 中心 200

26.2 直径与共轭直径 201

26.3 渐近线 205

27 二次曲线的仿射分类 210

28 圆环点与迷向直线 216

29 二阶曲线的主轴、焦点与准线 220

29.1 主轴 220

29.2 焦点与准线 222

29.3 共焦二次曲线束 226

第七章 射影几何基础 231

31 几何公理法简介 231

32 实射影几何的公理体系 233

33 公理体系的三个基本问题 237

33.1 公理体系的和谐性 237

33.2 公理体系的独立性 240

33.3 公理体系的完备性 241

34 射影几何公理体系的和谐性 244

第八章 非欧几何学概要 247

35 射影测度 247

36 双曲运动群和椭圆运动群 250

36.1 自同构群 250

36.2 双曲运动群和椭圆运动群 251

37 罗氏几何的克菜因模型 252

38 黎曼几何的模型 257

附录 一般体(域)上的射影几何简介 260

1 预备知识 260

1.1 群 260

1.2 体 261

1.3 向量空间 261

2 一般体(域)上的射影几何 265

2.1 射影几何与射影空间 265

2.2 射影变换与射影坐标 271

2.3 对偶原理 276

3 一般体(域)上的仿射几何 279

3.1 仿射空间与仿射几何 279

3.2 仿射坐标 280

3.3 仿射变换 281