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序 1

第一章 体论 1

§1　环与体 1

目录 1

§2　特征数及素域，由环建体 4

§3　多项式环 8

§4　同态 10

§5　素域与实数域的自同构 13

§6　线性相关与有限域 15

§7　代数相关与复数域的自同构 20

§8　超越扩张的自同构 24

§9　四元数体 25

§10　广义四元数体 28

§11　体的性质 33

§1　射影空间及群 41

第二章　一维射影几何及二级线性群 41

§2　调和点列和一维射影几何的基本定理 46

§3　射影对合 49

§4　体上的二级线性群 56

§5　PSL2（K）的单性 64

§6　SL2（K）的自同构 69

§7 GL2（K）的自同构 76

§8 SL？（K）的自同构 80

§9 PSL2（K），PGL2（K）及PSL？（K）的自同构 81

第三章 向量空间，矩阵和行列式 87

§1 矩阵的代数 87

§2　向量空间 91

§3　子空间的交和联 95

§4　子空间的矩阵表示，矩阵的行秩 98

§5　基变换，线性映射，矩阵的等价 100

§6　列空间及矩阵的秩 104

§7　齐次线性方程组 107

§8　GLn（K）的换位子群 108

§9　行列式 110

第四章　射影几何与仿射几何 119

§1　几何结构 119

§2　射影空间 122

§3　P？（K）中点的线性相关性 124

§4 线性子空间 127

§5 关于射影几何的公理化处理 131

§6 线性子空间的方程及对偶原理 133

§7 标准单纯形 137

§8 仿射空间 139

§9 仿射几何的基本定理 140

§10 射影几何的基本定理 146

§11 有限几何 148

第五章 长方阵几何学 151

§1 长方阵几何学 151

§2 方阵几何学 155

§3 算术距离 158

§4 长方阵仿射空间中秩为1的极大集 160

§5 两个秩为1的极大集的交集 164

§6 长方阵仿射空间中秩为2的极大集 167

§7 长方阵仿射几何的基本定理 174

§8 长方阵射影几何的基本定理 181

第六章 线性群的构造及自同构 183

§1 复习 183

§2 在SLn（K）之下矩阵的相似 184

§3 PSLn（K）的单性 189

§4 对合 193

§5 SLn（K），SL？（K）和GLn（K）的自同构（特征数≠2） 196

§6 射影对合（特征数≠2） 211

§7 PGLn（K），PSL？（K）和PSLn（K）的自同构（特征数≠2） 220

§8 对合（特征数＝2） 225

§9 SLn（K），GLn（K），PSLn（K）和PGLn（K）的自同构（特征数＝2） 233

第七章 H-矩阵及酉群 245

§1 自反矩阵及H-矩阵 245

§2 H-矩阵在合同下的化简 251

§3 H-矩阵在合同下的化简（续） 257

§4 H-矩阵在合同下的化简（续）——Witt定理 264

§5 迷向子空间 269

§6 酉群 277

§7 当v＝？时酉矩阵的形式 282

§8 当0＜v＜？时酉矩阵的形式 286

§9 酉平延及拟对称 290

§10 酉群的中心及射影酉群 294

§11 有限域上的酉群 298

第八章 酉群的构造（v≥1而正交群除外） 302

§1 引言 302

§2 TUn（K,H）的中心 305

§3 PTU2（K,H）的单性（v＝1） 313

§4　P7Un（K,H）的单性（v≥1） 319

§5　群U′n（K,H）（n＝2v） 331

§6　Un（K,H）的换位子群（n＝2v） 344

第九章　正交群的构造 353

§1　复习 353

§2　由2平延所演成的群 359

§3　由双曲旋转的平方所演成的群 366

§4　O？（F,S）/Ωn（F,S）的构造（n＝2v） 368

§5　O？（F,S）/Ω（F,S）的构造（n＞2v） 374

§6　PΩn（F,S）是单群的证明 376

§7　PΩn（F,S）是单群的证明（续） 385

第十章　特征数为2的域上的二次型和无亏数的正交群 397

§1　二次型的合同及Witt定理的推广 397

§2　奇异子空间　正则二次型的指数 406

§3　正交群 408

§4　On（F,G）中元素的形式 411

§5　正交平延 413

§6　由2平延所演成的群（与第九章§2相比较） 423

§7　由双曲旋转所演成的群（与第九章§3相比较） 425

§8　On（F,G）的构造（v≥1） 426

第十一章　特征数为2的域上有亏数的正交群 428

§1　群On（F,G）的一些初步性质 428

§2 半奇异向量 430

§3 On（F,G）中元素的形式 434

§4 正交平延 436

§5 由半奇异平延所演成的群 441

§6 Ωn（F,G）的单性 447

第十二章 辛群的自同构 452

§1 以往结果提要 452

§2 辛对合（特征数≠2） 453

§3 Sp2v（K）的自同构（K的特征数≠2） 458

§4 射影辛对合 466

§5 射影辛对合的中心化子和PSp2v（K）的自同构（K的特征数≠2） 471

§6 辛对合（特征数＝2） 474

§7 由一对称矩阵所定义的群（K的特征数＝2） 481

§8 辛对合的中心化子（特征数＝2） 488

§9 1对合的刻划（特征数＝2） 493

§10 Sp2m（K）的自同构（K的特征数＝2） 500

附记 518

索引 523