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下册 几何及数学推理常识 1

第五章 平面几何概观 1

5.1 几何学在古代是怎样产生和发展的？ 1

5.2 为什么现行中学几何知识都属于欧几里德几何？ 3

5.3 什么是非欧几何？ 4

5.4 现行中学平面几何课本用的哪些公理？ 5

5.5 什么是希尔伯特公理体系？ 7

5.6 我国最早的绘图工具是什么？ 12

5.7 为什么一定要限用圆规和直尺进行几何作图？ 13

5.8 为什么用圆规、直尺不能解决古代的几何作图三大问题？ 14

5.9 基本的作图共有哪些？ 17

5.10 几何作图题一定有解吗？ 19

5.11 解作图题为什么要进行分析？ 23

5.12 作图题中的分析能不能代替证明？ 25

5.13 什么是“三解形奠基法”？ 26

5.14 轨迹定义为什么必须满足纯粹性和完备性？ 29

5.15 怎样解轨迹探求题？ 30

5.16 什么是“轨迹交接法”？ 34

5.17 为什么画几何图形必须准确？ 38

5.18 怎样判断所证的几何题是否需要添加辅助线？ 39

5.19 证明平面几何命题时怎样添辅助线？ 43

第六章 直线形 53

6.2 平角就是一条直线吗？ 53

6.1 角是怎样定义的？ 54

6.3 “线段”、“线段的长”、“线段的量数”这三个概念什么区别 54

6.4 为什么平行线的定义中要强调“在同一平面内”？ 55

6.5 怎样证明平行线的基本判定方法？ 56

6.6 性质定理与判定定理有什么区别？ 57

6.7 两边不等的三角形中，不相等两边所夹的角的平分线，必位于底边上的中线与高之间吗？ 59

6.8 怎样证明三角形全等的判定定理？ 60

6.9 除了“边角边”、“角边角”、“边边边”这三个定理以外，判定两个三角形全等还有哪些定理？ 64

6.10 两个三角形中，若有两边及等三边上的高线对应相等，这两个三角形一定全等吗？ 66

6.11 面积相等并且周长也相等的两个三角形是否全等？ 67

6.12 使用符号“～”和“≌”时应注意些什么？ 68

6.13 怎样找全等三角形中的对应元素？ 69

6.14 怎样证明三角形四心的存在性？ 72

6.15 怎样利用三角形中的四心证题？ 76

6.16 怎样证明正弦定理？ 82

6.17 正弦定理与余弦定理可以互相推导出来吗？ 84

6.18 三角形的外心、垂心、重心三点共线吗？ 86

6.19 勾股定理是什么时候发现的？ 87

6.20 勾股定理有多少种证法？ 90

6.21 勾股定理的逆定理有多少种证法？ 96

6.25 等腰三角形有多少种定义方法？ 100

6.22 怎样从勾股定理推广到余弦定理？ 100

6.23 从勾股定理怎样发展到斯梯瓦定理？ 103

6.24 勾股数的一般表示公式是什么？ 107

6.26 已知一个三角形的两内角平分线相等，怎样证明它是等腰三角形？ 110

6.27 什么是施瓦兹三角形问题？ 114

6.28 什么是托罗玫定理，它是怎样转化为欧拉定理的？ 115

6.29 什么是塞瓦定理？ 118

6.30 什么是梅涅劳斯定理？ 119

6.31 三角形中有关不等量的定理有哪些？ 123

6.32 海伦公式是怎样证明的？ 125

6.33 计算三角形的面积有哪些公式？ 128

6.34 怎样用等积变形证(解)题？ 131

6.35 为什么两线段的比与所采用的长度单位无关？ 134

6.36 怎样证明平行线分线段成比例的定理？ 134

6.37 怎样证明两个三角形相似？ 137

6.38 怎样找相似三角形中的对应元素？ 140

6.39 三角形角平分线的性质定理有几个？ 142

6.40 怎样利用三点定形法找相似三角形？ 146

6.41 中心对称与轴对称有什么异同？ 149

6.42 位似形有什么特性？ 151

6.43 为什么说两种轴对称图形没有本质的区别？ 155

6.44 怎样运用轴对称的概念解题？ 156

6.45 已知两边及其中一边的对角，能确定多少个三角形？ 158

6.46 “梯形两底之和等于零”错在哪里？ 162

6.47 怎样判定特殊的四边形？ 163

第七章 圆 168

7.1 几个条件确定一个圆？ 168

7.2 圆是轴对称图形吗？ 169

7.4 ？能写成？吗？ 170

7.3 ∠ɑ？？能写成∠ɑ=？吗？ 170

7.5 怎样度量圆内角和圆外角的度数？ 171

7.6 垂径定理的推论包含多少条定理？ 173

7.7 圆幂定理包括几个定理？ 176

7.8 一条直线和圆会不会有三个交点？ 179

7.9 两个圆会不会有三个交点？ 180

7.10 怎样判断直线与圆相交、相切、相离？ 180

7.11 切线可以看成是割线的特殊情况吗？ 181

7.12 两圆有几条公切线？ 184

7.13 怎样判断两圆相交、相切或相离？ 185

7.14 怎样判定一条直线是圆的切线？ 188

7.15 怎样分辨多边形和圆之间的“接”与“切”？ 191

7.16 多边形指的是“面”还是“框”？ 192

7.17 全等多边形有没有判定定理？ 193

7.18 怎样判定一个四边形有内切圆？ 194

7.19 外切于圆的四边形也内接于圆的充要条件是什么？ 195

7.20 怎样等分圆周？ 198

7.21 用圆规和直尺能作的正多边形有哪些？ 199

7.22 什么是黄金分割？ 200

7.23 用圆规、直尺怎样把圆五等分？ 203

7.24 等边多边形与等角多边形一定是正多边形吗？ 206

7.25 等边或等角的圆内接多边形或外切多边形一定是正多边形吗？ 206

7.27 怎样计算π的近似值？ 211

7.28 怎样证明四点共圆？ 215

7.26 已知圆的内接(或外切)正n边形的边长a，如何计算其内接(或外切)正2n边形的边长a2?？ 216

7.29 下面的证法错在哪儿(一)？ 219

7.30 下面的证法错在哪儿(二)？ 220

7.31 怎样证ab=cd=ef型的几何等式？ 222

7.32 怎样寻找儿何定值问题中的定值？ 224

第八章 数学推理常识 232

8.1 怎样定义数学概念？ 232

8.2 什么是命题？ 236

8.3 什么是原子命题？什么是复合命题？ 238

8.4 怎样由原子命题的真假来规定由四个基本逻辑联结词所构成的复合命题的真假？ 242

8.5 怎样求复合命题的真值？ 245

8.6 怎样判定两个复合命题的同真同假？ 247

8.7 怎样否定含“并且”“都是”的命题？ 249

8.8 怎样否定含“或者”“至少有一个”的命题？ 250

8.9 怎样否定含有“如果……那么……”的命题？ 251

8.10 什么是恒真命题？什么是恒假命题？ 253

8.11 怎样分清数学命题的条件和结论？ 254

8.12 什么是充分条件？什么是必要条件？ 256

8.13 什么是充分必要条件？ 257

8.14 为什么要研究假言命题的四种形式？ 258

8.15 一个假言命题的逆命题有多少个？ 259

8.16 为什么原命题的逆否命题等价？ 263

8.17 一个假言命题的逆否命题的形式只有一个吗？ 265

8.18 什么是数字推理？数学推理怎样分类？ 266

8.19 常用的数学推理格式有哪些？ 269

8.20 什么是推理规则？常用的推理规则有哪几条？ 273

8.21 在数学中，常用的归纳推理有哪几种形式？ 274

8.22 真命题、定理、推论是一回事吗？ 276

8.23 数学定理为什么要证明？ 276

8.24 什么样的证明才是正确的？ 278

8.25 怎样证明一个假言命题为假？ 280

8.26 什么是综合法？ 281

8.27 什么是分析法？ 283

8.28 分析法与综合法究竟哪一个好？ 285

8.29 直接证明和间接证明怎样区分？ 286

8.30 什么是反证法(归廖法)？ 289

8.31 什么是穷举法？ 293

8.32 什么是穷举反证法？ 295

8.33 怎样求分断式定理的逆定理？ 297

8.34 什么是同一法？ 298

第一节 整数 303

参考材料 整数的性质 303

第二节 唯一分解定理 312

第三节 线性不定方程 324

第四节 同余式 332

第五节 一次同余式 340

第六节 费尔马定量和威尔逊定理 350

第七节 一个整数的因数 359

第八节 完全数 366

第九节 欧拉定理与欧拉函数 373

第十节 毕达哥拉斯三角形 383