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第1章 科学计算中的误差 1

1.1 引言 1

1.2 截断误差 2

1.3 计算机中的数与舍入误差 2

1.3.1 数的基 2

1.3.2 数值常数的范围 3

1.3.3 计算机中的舍入误差 3

1.3.4 减少舍入误差的策略 7

1.4 历史人物：Eckert与Mauchly 10

习题1 11

第2章 多项式插值 14

2.1 引言 14

2.2 拉格朗日插值 15

2.2.1 拉格朗日插值公式 15

2.2.2 误差分析 17

2.3 均差与牛顿插值公式 19

2.3.1 均差的定义及性质 19

2.3.2 牛顿插值公式 20

2.4 等距节点的牛顿插值公式 21

2.4.1 向前差分表和牛顿向前插值公式 21

2.4.2 向后差分表和牛顿向后插值公式 25

2.5 埃尔米特插值 26

2.6 分段低次插值 28

2.6.1 分段线性插值 28

2.6.2 分段三次插值 30

2.7 三次样条插值 31

2.8 二维插值问题 33

2.9 历史人物：Runge 34

习题2 35

第3章 线性方程组的数值解法 38

3.1 引言 38

3.2 高斯消去法 38

3.3 高斯主元素消去法 40

3.4 三角分解法 43

3.4.1 LU分解 43

3.4.2 追赶法 45

3.5 条件数与病态方程组 46

3.5.1 向量和矩阵的范数 46

3.5.2 病态方程组 48

3.5.3 条件数与误差分析 48

3.6 不定方程组的数值解法 50

3.7 雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法 52

3.8 迭代法的收敛性 55

3.9 超松弛迭代法 58

3.10 历史人物J.H.Wilkinson 61

习题3 62

第4章 非线性方程的求根 66

4.1 引言 66

4.2 二分法 66

4.3 试位法和改进的试位法 70

4.4 牛顿法 72

4.5 割线法 75

4.6 逐次替换法 77

4.7 劈因子法 79

4.8 历史人物：Evariste Galois 81

习题4 82

第5章 数值积分和数值微分 85

5.1 引言 85

5.2 梯形公式 85

5.3 辛普森公式 88

5.4 牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）公式 90

5.4.1 牛顿-柯特斯公式 90

5.4.2 求积公式的代数精度 92

5.5 龙贝格积分 93

5.5.1 梯形公式的逐次分半算法 93

5.5.2 梯形公式的加速 94

5.5.3 辛普森公式的加速 94

5.5.4 龙贝格公式 94

5.6 正交多项式及其性质 95

5.6.1 勒让德多项式 96

5.6.2 切比雪夫多项式 96

5.6.3 其他的几个正交多项式 97

5.7 高斯求积公式 98

5.7.1 高斯-勒让德公式 98

5.7.2 高斯公式的稳定性 100

5.7.3 其他的高斯求积公式 101

5.8 二重积分的数值方法 101

5.9 数值微分 104

5.9.1 利用泰勒展开 104

5.9.2 插值型求导公式 106

5.10 历史人物：Ulam与VonNeumann 108

习题5 109

第6章 曲线的拟合 112

6.1 引言 112

6.2 最小二乘原理及直线拟合法 112

6.3 高阶多项式拟合法 116

6.4 用已知函数的线性组合作曲线拟合 118

6.5 历史人物：Guass 120

习题6 122

第7章 矩阵特征值的计算 125

7.1 引言 125

7.2 插值方法 125

7.3 求对称方程特征值的豪斯浩德尔二分法 127

7.3.1 豪斯浩德尔变换 127

7.3.2 三对角方阵的特征值 129

7.4 幂法 130

7.4.1 幂法 130

7.4.2 逆幂法 132

7.5 QR方法 133

7.5.1 QR方法的基本步骤 133

7.5.2 QR方法的收敛性问题 134

7.5.3 应用举例 135

习题7 137

第8章 常微分方程初值问题的数值解法 139

8.1 引言 139

8.2 欧拉法 140

8.2.1 向前欧拉法 140

8.2.2 梯形欧拉法 142

8.2.3 向后欧拉法 143

8.2.4 误差、收敛性及稳定性讨论 144

8.3 Runge-Kutta法 146

8.3.1 二阶R-K法 147

8.3.2 三阶R-K法 149

8.3.3 四阶R-K法 150

8.3.4 误差、收敛性和稳定性讨论 153

8.4 预估-校正法 155

8.4.1 引言 155

8.4.2 Adams预估-校正法 156

8.4.3 误差、收敛性和稳定性讨论 158

习题8 161

参考文献 165