高等数学自学教程 第3卷 上 积分学及其应用PDF电子书下载

第十六章　不定积分 1

16.1 原函数与不定积分的概念 1

Ⅰ．问题的提出 1

Ⅱ．原函数的概念 2

Ⅲ．原函数存在的条件 2

Ⅳ．不定积分的概念 3

Ⅴ．不定积分的几何意义 5

习题16.1 8

16.2　不定积分的性质 9

16.3　基本积分公式 11

习题16.2 18

16.4　换元积分法 19

Ⅰ．第一种换元积分法（凑微分法） 20

Ⅱ．第二种换元积分法 30

习题16.3 40

16.5　分部积分法 41

习题16.4 51

16.6　有理函数的积分 53

Ⅰ．有理函数的概念 53

Ⅱ．有理函数的分解 54

Ⅲ．有理函数的积分 67

习题16.5 81

16.7　三角函数有理式的积分 82

Ⅰ．有理式的概念 82

Ⅱ．三角函数的有理式 82

Ⅲ．三角函数有理式的积分方法 82

习题16.6 88

16.8　无理函数的积分 89

Ⅰ．无理函数的概念 89

Ⅱ．无理函数的积分方法 89

习题16.7 106

16.9　二项微分式的积分 107

Ⅰ．二项微分式的概念 107

Ⅱ．二项微分式的积分是初等函数的条件 107

Ⅲ．二项微分式的积分方法（契贝谢夫法） 110

习题16.8 126

16.10　各种积分方法的综合运用 127

习题16.9 140

16.11　本章的小结与要求 141

Ⅰ．本章的内容小结 141

Ⅱ．本章的基本要求 145

第十七章　定积分 146

17.1　定积分的概念 146

Ⅰ．与定积分概念有关的两个实际问题 146

Ⅱ．定积分的概念 152

Ⅲ．定积分的几何意义 154

Ⅳ．定积分的存在条件 154

习题17.1 163

17.2　定积分的性质 164

习题17.2 176

17.3　牛顿-莱布尼兹公式 176

Ⅰ．变上限的积分 177

Ⅱ．积分上限的函数及其性质 178

Ⅲ．牛顿-莱布尼兹公式 180

习题17.3 188

17.4　用换元法计算定积分 190

17.5　奇、偶函数在对称区间上的定积分 202

习题17.4 205

17.6　用分部积分法计算定积分 206

17.7　杂题讲解 214

习题17.5 229

17.8　定积分的近似计算方法 231

Ⅰ．矩形法 231

Ⅱ．梯形法 234

Ⅲ．抛物线法 235

习题17.6 244

17.9　广义积分 244

Ⅰ．连续函数在无穷区间上的积分 245

Ⅱ．有无穷型间断点的函数在有限区间上的积分 249

习题17.7 261

17.10　定积分的应用 262

Ⅰ．用定积分计算平面图像的面积 262

习题17.8 289

Ⅱ．用定积分计算立体的体积 290

习题17.9 310

Ⅲ．用定积分计算平面曲线的弧长 311

习题17.10 336

Ⅳ．用定积分计算变力做功 339

习题17.11 350

Ⅴ．用定积分计算液体的压力 351

习题17.12 363

Ⅵ．用定积分计算连续函数的平均值 364

Ⅶ．定积分的其他应用 366

习题17.13 376

17.11　本章的小结与要求 377

Ⅰ．本章的内容小结 377

Ⅱ．本章的基本要求 382

第十八章　重积分 383

18.1　二重积分 384

Ⅰ．曲顶柱体的体积问题 384

Ⅱ．二重积分的定义 386

Ⅲ．二重积分的几何意义 387

Ⅳ．二重积分的存在条件 388

18.2　二重积分的性质 390

习题18.1 402

18.3　二重积分在直角坐标系下的计算方法 403

Ⅰ．矩形区域上二重积分的计算方法 403

Ⅱ．任意平面区域上二重积分的计算方法 414

Ⅲ．荻里赫莱（Dirichlet.1805～1859，德国数学家）公式 418

习题18.2 432

18.4　二重积分在极坐标系下的计算方法 434

Ⅰ．二重积分在直角坐标系下与在极坐标系下的变换公式 434

Ⅱ．极坐标系下二重积分的计算方法 437

习题18.3 447

18.5　三重积分 448

Ⅰ．三重积分的概念 448

Ⅱ．三重积分的物理意义 449

Ⅲ．三重积分的性质 450

Ⅳ．三重积分的计算方法 452

1．三重积分在直角坐标系下的计算方法 452

习题18.4 467

2．三重积分在柱面坐标系下的计算方法 468

3．三重积分在球面坐标系下的计算方法 476

习题18.5 482

18.6　重积分的应用 483

Ⅰ．重积分在几何问题中的应用 483

1．用二重积分计算平面区域（或平面图像）的面积 483

2．用二重积分计算曲面的面积 490

习题18.6 507

3．用重积分计算立体的体积 508

习题18.7 526

Ⅱ．重积分在物理及力学中的应用 527

1．用重积分计算不均匀物体的质量 527

习题18.8 533

2．用重积分计算物体的重心 533

习题18.9 549

3．用重积分计算物体的转动惯量 550

习题18.10 578

18.7　本章的小结与要求 579

Ⅰ．本章的内容小结 579

Ⅱ．本章的基本要求 582

第十九章　曲线积分 583

19.1　对弧长的曲线积分 583

Ⅰ．问题的提出（平面曲线的质量问题） 583

Ⅱ．对弧长的曲线积分的概念 585

Ⅲ．对弧长的曲线积分的性质 587

Ⅳ．对弧长的曲线积分的计算方法 588

习题19.1 603

19.2　对坐标的曲线积分 604

Ⅰ．问题的提出（变力沿曲线的作功问题） 604

Ⅱ．对坐标的曲线积分的概念 606

Ⅲ．对坐标的曲线积分的性质 608

Ⅳ．对坐标的曲线积分的计算方法 609

Ⅴ．两种曲线积分之间的关系 613

习题19.2 630

19.3　曲线积分与二重积分的关系（格林公式） 631

Ⅰ．平面区域边界的正向 631

Ⅱ．曲线积分与二重积分之间的关系——格林公式 632

Ⅲ．用曲线积分表示平面区域的面积 636

习题19.3 643

19.4　曲线积分与路径无关的条件 644

Ⅰ．问题的提出 644

Ⅱ．曲线积分与路径无关的概念 645

Ⅲ．单连域与多连域的概念 646

Ⅳ．曲线积分与路径无关的条件 646

Ⅴ．全微分存在的条件 654

Ⅵ．求全微分原函数的方法 660

习题19.4 670

19.5　曲线积分的应用 671

Ⅰ．用曲线积分计算平面图像的面积 671

Ⅱ．用曲线积分计算线材的质量 673

Ⅲ．用曲线积分计算线材的重心 676

习题19.5 686

Ⅳ．用曲线积分计算线材（质线）的转动惯量 686

习题19.6 695

Ⅴ．用曲线积分计算变力作功 695

习题19.7 698

19.6　本章的小结与要求 699

Ⅰ．本章的内容小结 699

Ⅱ．本章的基本要求 701

第二十章　曲面积分 702

20.1　对坐标的曲面积分 702

Ⅰ．流量问题 702

Ⅱ．对坐标的曲面积分的概念 704

Ⅲ．曲面的双侧及有向曲面的概念 706

Ⅳ．对坐标的曲面积分的性质 707

Ⅴ．对坐标的曲面积分的计算方法 707

习题20.1 738

20.2　对面积的曲面积分 739

Ⅰ．不均匀曲面的质量问题 739

Ⅱ．对面积的曲面积分的概念 741

Ⅲ．对面积的曲面积分的性质 742

Ⅳ．对面积的曲面积分的计算方法 742

习题20.2 754

20.3　两种曲面积分之间的关系 755

20.4　曲面积分与三重积分之间的关系 757

Ⅰ．奥氏公式 757

Ⅱ．对坐标的曲面积分与曲面无关的条件 767

习题20.3 768

20.5　曲面积分的应用 769

Ⅰ．用曲面积分计算立体的体积 769

Ⅱ．用曲面积分计算曲面的面积 771

Ⅲ．用曲面积分计算曲面的质量 773

Ⅳ．用曲面积分计算曲面的重心 775

Ⅴ．用曲面积分计算曲面的转动惯量 777

Ⅵ．用曲面积分计算流体流过曲面的流量 783

习题20.4 794

20.6　本章的小结与要求 795

Ⅰ．本章的内容小结 795

Ⅱ．本章的基本要求 796