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第一章 微积分 1

1.1 微分法则 1

1.1.1 导数的含义 1

1.1.2 导数的基本公式与运算法则 2

1.1.3 微分公式 4

1.1.4 高阶导数和高阶微分 5

1.1.5 多元函数和偏导数 6

1.1.6 隐函数求导 8

1.1.7 微分中值定理 8

1.1.8 罗彼塔（L′Hospital）法则 9

1.2 积分与广义积分 10

1.2.1 不定积分的含义及法则 10

1.2.2 换元积分法、分部积分法 11

1.2.3 定积分 12

1.2.4 广义积分（或称反常积分） 1

1.2.5 含参变量积分及其求导 16

1.2.6 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分） 18

1.2.7 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分） 21

1.3 级数与泰勒展开式 23

1.3.1 级数的概念 23

1.3.2 幂级数与泰勒级数 24

1.3.3 函数展开成幂级数 26

1.3.4 三角级数与傅立叶级数 27

第二章 线性代数 30

2.1 矩阵、向量 30

2.1.1 矩阵与向量 30

2.1.2 矩阵的运算法则 33

2.1.3 向量的运算 35

2.1.4 线性方程组的矩阵表示 38

2.2 逆矩阵 39

2.2.1 行列式与矩阵的奇异性 39

2.2.2 逆矩阵 43

2.2.3 分块矩阵的逆矩阵 45

2.2.4 线性方程组的两种解法 46

2.3 二次型与特殊行列式 47

2.3.1 二次型及其正负定 47

2.3.2 主子式与顺序主子式 48

2.3.3 稚可比行列式与海赛行列式 50

2.3.4 几种加边海赛行列式 54

2.4 矩阵及二次型的导数 61

2.4.1 基本概念 61

2.4.2 对矩阵和向量的求导 65

2.4.3 矩阵的迹函数求导 67

2.5 特征值与矩阵的对角化 68

2.5.1 方阵的特征值与特征向量 68

2.5.2 实对称矩阵的特征值与特征向量 71

2.5.3 矩阵的对角化 73

第三章 测度论 74

3.1 σ域与测度 74

3.1.1 封闭运算与σ域 74

3.1.2 测度与测度空间 76

3.1.3 勒贝格测度 79

3.2 可测函数 81

3.2.1 可测映射与可测函数 81

3.2.2 可测函数的判断与运算 82

3.2.3 简单函数与可测函数 84

3.2.4 可测函数的收敛性 85

3.3 可测函数的积分 87

3.3.1 非负简单函数的积分 87

3.3.2 非负可测函数的积分 88

3.3.3 一般可测函数的积分 89

3.3.4 可测函数积分的性质 91

3.4 符号测度 94

3.4.1 符号测度与不定积分 94

3.4.2 符号测度的分解定理 95

3.5 乘积空间 98

3.5.1 乘积σ域与乘积可测空间 98

3.5.2 乘积测度 99

3.5.3 关于乘积测度的积分：富比尼定理 101

附录：上确界sup与下确界inf 102

第四章 概率论：基础与应用 103

4.1 概率测度与概率空间 104

4.1.1 基本事件空间与概率公理 104

4.1.2 事件域与概率测度 105

4.2 随机变量及其分布 108

4.2.1 随机变量 108

4.2.2 勒贝格-斯蒂尔切斯测度 109

4.2.3 一般随机变量的分布函数 112

4.2.4 随机变量概率分布的斯蒂尔切斯积分表示 11

4.2.5 随机变量的分布函数：离散型与连续型 121

4.3 随机向量及其分布函数 125

4.3.1 一般随机向量的分布函数 125

4.3.2 离散型随机向量及其分布 127

4.3.3 连续型随机向量及其分布 128

4.3.4 随机向量的边缘分布 130

4.3.5 随机变量的独立性与独立同分布的随机向量 132

4.3.6 随机向量函数的分布 133

4.4 随机变量的数字特征 136

4.4.1 数学期望的测度积分表示 137

4.4.2 积分转换定理 138

4.4.3 随机变量与随机变量函数的数学期望 140

4.4.4 随机变量的方差与协方差 144

4.5 随机向量的数字特征 147

4.5.1 随机向量的均值矩阵 147

4.5.2 随机向量的方差矩阵 149

4.5.3 随机向量的协方差矩阵 150

4.5.4 随机变量的矩与特征函数简介 151

4.6 条件概率与条件期望 153

4.6.1 条件概率 153

4.6.2 随机变量的条件分布函数 155

4.6.3 随机变量的条件期望及其性质 19

4.6.4 条件期望矩阵与条件方差矩阵 164

4.6.5 随机变量条件期望的一般定义 167

4.6.6 条件期望与最优估计 172

4.6.7 正态分布的随机向量（多元正态分布） 175

第五章 随机过程与时间序列分析 180

5.1 随机过程概述 180

5.1.1 随机过程的基本概念 180

5.1.2 随机过程的概率特征 181

5.1.3 随机过程的正交性、不相关性、相互独立性 185

5.1.4 随机过程的基本类型 186

5.2 泊松过程与布朗运动 188

5.2.1 泊松过程 188

5.2.2 泊松过程的数字特征 189

5.2.3 布朗运动或维纳过程 191

5.3 马尔可夫过程 194

5.3.1 马尔可夫链与转移概率 194

5.3.2 马尔可夫链的状态分类 197

5.3.3 马尔可夫过程 198

5.4 鞅理论 202

5.4.1 鞅及其含义 202

5.4.2 停时与停时定理 204

5.5 随机微积分 206

5.5.1 随机积分 206

5.5.2 伊藤（It?）积分 209

5.5.3 伊藤（It?）微分与伊藤公式 215

5.5.4 伊藤随机微分方程 218

5.5.5 随机微分方程解的存在性 220

5.6 时间序列分析简介 221

5.6.1 时间序列分析 221

5.6.2 白噪声 222

5.6.3 平稳时间序列的线性模型 223

5.6.4 单位根过程与随机游走过程 225

5.6.5 平稳过程的自协方差生成函数和谱密度函数 226

5.6.6 联合平稳过程的互协方差生成函数和互谱密度函数 232

第六章 复变函数与积分变换 236

6.1 复数与复变函数 236

6.1.1 复数及其表示方法 236

6.1.2 复平面 239

6.1.3 复变函数 241

6.1.4 解析函数 242

6.2 复变函数的积分、级数与留数 243

6.2.1 复变函数的积分 243

6.2.2 级数 246

6.2.3 洛朗级数 249

6.2.4 留数与留数基本定理 251

6.2.5 保角映射 254

6.3 积分变换 256

6.3.1 傅立叶变换 256

6.3.2 序列傅立叶变换 260

6.3.3 Z变换 261

参考文献 264