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第1章 行列式 1

1.1 数域 1

1.2 二、三阶行列式 2

1.3 n阶行列式的定义 4

1.4 行列式的性质 6

1.5 行列式展开定理 10

1.5.1 按一行（列）展开公式 11

1.5.2 Laplace定理 14

1.6 Cramer法则 16

1.6.1 线性方程组的概念 16

1.6.2 Cramer法则 17

习题1 20

第2章 矩阵及其运算 25

2.1 矩阵的概念 25

2.2 矩阵的基本运算 27

2.2.1 矩阵的线性运算 27

2.2.2 矩阵乘法 28

2.2.3 方阵的幂 30

2.2.4 矩阵的转置 31

2.2.5 方阵的行列式 33

2.2.6 共轭矩阵 34

2.3 逆矩阵 35

2.4 分块矩阵 39

习题2 43

第3章 矩阵的初等变换 46

3.1 矩阵的秩 46

3.2 矩阵的初等变换 47

3.3 求解线性方程组的消元法 49

3.4 初等矩阵 53

3.5 分块初等矩阵及其应用 57

习题3 59

第4章 向量组的线性相关性 61

4.1 向量及其运算 61

4.2 向量组的线性相关性 63

4.2.1 线性相关与线性无关 63

4.2.2 线性相关性的判别定理 65

4.3 向量组的秩与极大无关组 68

4.3.1 秩与极大无关组 68

4.3.2 等价向量组 69

4.4 向量空间 70

4.4.1 向量空间的概念 70

4.4.2 正交基 72

4.5 线性方程组解的结构 73

4.5.1 齐次线性方程组 74

4.5.2 非齐次线性方程组 75

4.5.3 三个平面的相对位置 77

习题4 78

第5章 矩阵的相似变换 81

5.1 特征值与特征向量 81

5.2 相似对角化 85

5.2.1 相似矩阵 85

5.2.2 相似对角化 86

5.3 实对称矩阵的相似矩阵 90

5.3.1 实对称矩阵的特征值与特征向量 90

5.3.2 正交矩阵 91

5.3.3 实对称矩阵正交相似于对角矩阵 91

习题5 94

第6章 二次型 97

6.1 二次型及其矩阵表示 97

6.2 化二次型为标准形 99

6.2.1 正交变换法 99

6.2.2 配方法 102

6.2.3 初等变换法 105

6.3 正、负定二次型 107

6.3.1 惯性定理 107

6.3.2 正、负定二次型 109

6.3.3 多元函数极值的判定 112

习题6 114

第7章 多项式 116

7.1 一元多项式及其运算 116

7.1.1 一元多项式的概念 116

7.1.2 多项式的运算 116

7.2 整除的概念 117

7.2.1 带余除法 118

7.2.2 整除的概念 119

7.3 最大公因式 120

7.4 因式分解定理 124

7.5 重因式 126

7.6 多项式函数 128

7.7 复系数与实系数多项式的因式分解 130

7.7.1 复系数多项式的因式分解 130

7.7.2 实系数多项式的因式分解 130

7.8 有理系数多项式 131

7.8.1 本原多项式 131

7.8.2 整系数多项式的有理根 132

7.8.3 有理系数多项式的因式分解 133

7.9 多元多项式 134

7.10 对称多项式 137

7.10.1 对称多项式的概念与性质 137

7.10.2 对称多项式的应用 139

7.11 二元高次方程组 141

7.11.1 结式 141

7.11.2 二元高次方程组 143

习题7 144

第8章 λ-矩阵 148

8.1 λ-矩阵的概念 148

8.2 λ-矩阵的等价标准形 150

8.3 不变因子 153

8.4 初等因子 157

8.5 矩阵相似的条件 160

8.6 矩阵的Jordan标准形 162

8.7 矩阵的有理标准形 167

8.7.1 Frobenius标准形 167

8.7.2 Jacobson标准形 169

8.8 Hamilton-Cayley定理 171

8.8.1 Hamilton-Cayley定理 171

8.8.2 最小多项式 173

习题8 176

第9章 线性空间 179

9.1 映射与变换 179

9.2 线性空间的定义与基本性质 181

9.3 基、维数与坐标 183

9.3.1 线性相关性 183

9.3.2 基与维数 184

9.3.3 坐标 185

9.4 基变换与坐标变换 186

9.5 线性空间的同构 189

9.6 线性子空间 191

9.7 子空间的交、和与直和 194

习题9 197

第10章 线性映射 200

10.1 线性映射的概念 200

10.2 线性映射的值域与核 202

10.3 线性映射的运算 203

10.4 线性映射的矩阵 206

10.5 化简线性变换的矩阵 211

10.5.1 特征值与特征向量 211

10.5.2 化简线性变换的矩阵 215

10.6 不变子空间 218

习题10 219

第11章 欧氏空间 222

11.1 欧氏空间的概念 222

11.2 规范正交基 226

11.3 正交子空间 228

11.4 正交变换与对称变换 230

11.4.1 正交变换 230

11.4.2 对称变换 234

11.5 广义逆矩阵 236

11.5.1 广义逆矩阵的概念 236

11.5.2 广义｛1｝-逆 237

11.5.3 Moore-Penrose逆 240

11.5.4 Moore-Penrose逆的应用 243

习题11 247

第12章 酉空间 249

12.1 酉空间的概念 249

12.2 酉相似下的标准形 252

12.3 酉变换与Hermite变换 258

12.4 Hermite二次型 259

12.5 奇异值分解 262

习题12 265

第13章 双线性函数 267

13.1 线性函数 267

13.2 对偶空间 268

13.3 双线性函数 270

13.4 对称与反对称双线性函数 273

习题13 277

第14章 基本代数结构简介 279

14.1 代数运算 279

14.2 群及其基本性质 280

14.2.1 群的定义 281

14.2.2 群的基本性质 282

14.2.3 子群 283

14.3 环与域 285

14.3.1 环与子环 285

14.3.2 域和子域 287

习题14 288

习题答案与提示 290

参考文献 305