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第一章 空间解析几何基础 1

第一节 空间直角坐标系与空间曲面 1

一、空间直角坐标系 1

二、空间两点之间的距离 2

三、曲面方程的一般概念 3

四、常见的空间曲面 4

习题1-1 8

第二节 空间曲线及其在坐标面上的投影 8

一、平面曲线的极坐标方程和参数方程 9

二、空间曲线的一般方程与参数方程 10

三、空间曲线在坐标面上的投影 11

习题1-2 12

第三节 空间中的向量代数 13

一、向量的线性运算 13

二、空间向量的方向角、方向余弦及其在数轴上的投影 15

三、数量积、向量积、混合积 17

习题1-3 21

第四节 空间中平面与直线的方程 22

一、平面的点法式方程 22

二、平面的一般方程 23

三、空间直线的一般方程与对称式方程 24

四、空间直线、平面间的位置关系 27

习题1-4 29

第一章 总习题 30

第二章 函数、极限与连续性 32

第一节 区间和平面区域 32

一、数轴上的区间与邻域 32

二、平面上的邻域和区域 33

习题2-1 35

第二节 一元函数与多元函数 35

一、一元函数的概念 35

二、某些一元函数具有的特性 37

三、一元函数的反函数 38

四、一元初等函数 39

五、一元分段函数与幂指函数 43

六、多元函数的概念 44

习题2-2 45

第三节 简单的经济函数 46

一、单利、复利与多次付息 46

二、贴现 47

三、需求函数与供给函数 48

四、成本函数、收益函数和利润函数 49

习题2-3 51

第四节 一元函数的极限 51

一、数列的极限 51

二、一元函数的极限 54

习题2-4 56

第五节 无穷小量与无穷大量 57

一、无穷小量及其运算性质 57

二、无穷大量 58

三、无穷小量与无穷大量的关系 58

习题2-5 59

第六节 极限运算 59

一、极限的运算法则 59

二、极限存在准则 两个重要极限 62

三、无穷小量的比较 65

习题2-6 66

第七节 一元函数的连续性 67

一、连续函数的概念 67

二、连续函数的基本性质及初等函数的连续性 68

三、闭区间上连续函数的性质 69

四、函数的间断点及其分类 70

习题2-7 72

第八节 二元函数的极限与连续性 72

一、二元函数的极限 72

二、二元函数的连续性 73

习题2-8 73

第二章 总习题 74

第三章 微分学基础 77

第一节 导数的概念 77

一、微分学产生的背景 77

二、一元函数的导数 78

三、一元函数可导与连续的关系 79

四、导数的几何意义、物理意义与经济意义 80

习题3-1 81

第二节 一元函数的求导方法 81

一、用定义求导数 81

二、导数的四则运算法则 83

三、反函数的导数 84

四、一元复合函数的导数 85

五、一元初等函数求导方法小结 87

六、幂指函数求导与取对数求导法 87

七、高阶导数 89

八、由参数方程所确定的一元函数的导数 90

习题3-2 91

第三节 偏导数及其计算 92

一、偏导数的概念 92

二、求偏导数的基本方法 94

三、高阶偏导数 95

四、多元复合函数的求导法则 96

习题3-3 98

第四节 隐函数的（偏）导数 99

一、隐函数的概念 99

二、隐函数的求（偏）导数公式 99

三、用复合函数求（偏）导法则求隐函数的（偏）导数 101

习题3-4 103

第五节 微分与全微分 104

一、一元函数微分的概念及几何意义 104

二、一元函数的微分公式与运算法则 106

三、多元函数的全微分 107

四、微分与全微分在近似计算中的应用 109

习题3-5 110

第三章 总习题 111

第四章 微分学的应用 113

第一节 中值定理 113

一、罗尔定理 113

二、拉格朗日中值定理 114

三、柯西中值定理 115

习题4-1 116

第二节 洛必达法则 117

一、0/0型及∞／∞型未定式极限求法 117

二、0·∞，∞-∞，1∞，∞0，00型未定式的解法 119

习题4-2 121

第三节 一元函数的单调性与凹凸性 121

一、单调性的判别法 122

二、单调区间求法 122

三、曲线凹凸性的概念 123

四、曲线凹凸性的判定 124

五、曲线的拐点及其求法 125

习题4-3 126

第四节 一元函数的极值与最值 126

一、一元函数极值与最值的概念 126

二、一元函数极值的求法 126

三、一元函数最值的求法 129

习题4-4 130

第五节 一元函数图形的描绘 130

一、渐近线 130

二、一元函数作图 131

习题4-5 132

第六节 曲率 132

一、弧微分 132

二、曲率与曲率圆 133

习题4-6 135

第七节 微分学在几何中的应用 136

一、空间曲线的切线与法平面 136

二、空间曲面的切平面与法线 136

习题4-7 138

第八节 多元函数的极值与最值 138

一、二元函数极值 138

二、二元函数的最大值与最小值 140

三、条件极值与拉格朗日乘数法 141

习题4-8 142

第九节 微分学在经济中的简单应用 142

一、边际分析 142

二、弹性分析 146

三、经济最值问题 149

习题4-9 150

第十节 方向导数与梯度 150

一、方向导数 150

二、梯度 151

习题4-10 152

第四章 总习题 153

第五章 定积分及其应用 154

第一节 定积分的概念与性质 154

一、定积分的基本思想与问题起源 154

二、定积分的概念 156

三、定积分的几何意义 157

四、定积分的性质 157

习题5-1 160

第二节 微积分基本定理 161

一、积分上下限函数及其导数、原函数 161

二、牛顿-莱布尼茨公式 164

习题5-2 165

第三节 不定积分的概念和性质 166

一、不定积分的概念 166

二、基本积分表 167

三、不定积分的性质 168

习题5-3 169

第四节 不定积分的积分方法 170

一、不定积分的换元积分法 170

二、不定积分的分部积分法 176

三、几类特殊函数的积分法 179

习题5-4 181

第五节 定积分的积分方法 182

一、定积分的换元积分法 182

二、定积分的分部积分法 185

习题5-5 187

第六节 反常积分 188

一、无穷区间的反常积分 188

二、无界函数的反常积分 190

习题5-6 191

第七节 定积分的应用 192

一、平面图形的面积 192

二、特殊的空间立体的体积 195

三、物理应用 197

四、经济学中的应用 198

习题5-7 199

第五章 总习题 200

第六章 重积分 202

第一节 二重积分的概念与性质 202

一、二重积分的概念 202

二、二重积分的性质 205

习题6-1 206

第二节 二重积分的计算 206

一、X型区域与Y型区域 207

二、直角坐标系下二重积分的计算 207

三、极坐标系下二重积分的计算 213

习题6-2 218

第三节 三重积分及其在直角坐标系下的计算 220

一、三重积分的概念 220

二、空间直角坐标系下三重积分的计算方法 221

习题6-3 225

第四节 利用柱面坐标系和球面坐标系计算三重积分 225

一、柱面坐标系下三重积分的计算方法 225

二、球面坐标系下三重积分的计算方法 227

习题6-4 229

第五节 重积分的应用 229

一、空间立体的体积 229

二、重积分的物理应用 230

习题6-5 233

第六章 总习题 233

第七章 曲线积分与曲面积分 235

第一节 对弧长的曲线积分 235

一、对弧长的曲线积分的概念与性质 235

二、对弧长的曲线积分的计算方法 236

习题7-1 238

第二节 对坐标的曲线积分 239

一、对坐标的曲线积分的概念与性质 239

二、对坐标的曲线积分的计算方法 240

习题7-2 243

第三节 格林公式及其应用 243

一、格林公式 243

二、平面曲线积分与路径无关的条件 246

三、二元函数的全微分求积 247

习题7-3 248

第四节 曲面积分 249

一、对面积的曲面积分 249

二、对坐标的曲面积分的概念与性质 252

三、对坐标的曲面积分的计算方法 254

习题7-4 256

第五节 高斯公式和斯托克斯公式 257

一、高斯公式 257

二、斯托克斯公式 258

习题7-5 259

第六节 场论初步 259

一、数量场与向量场 259

二、向量场的散度和通量 260

三、向量场的环流量与旋度 261

习题7-6 262

第七章 总习题 262

第八章 无穷级数 264

第一节 常数项级数的概念与性质 264

一、常数项级数的概念 264

二、收敛级数的基本性质 266

习题8-1 268

第二节 常数项级数的审敛法 269

一、正项级数及其审敛法 269

二、任意项级数、绝对收敛、条件收敛 273

习题8-2 275

第三节 函数项级数与幂级数 276

一、函数项级数 276

二、幂级数及其收敛域 277

三、幂级数的运算 281

习题8-3 282

第四节 函数展开成幂函数 283

一、泰勒级数 283

二、函数展开成幂级数 284

习题8-4 287

第五节 幂级数的应用 287

一、函数值的近似计算 287

二、在积分计算中的应用 289

三、求极限 289

四、证明欧拉公式 289

习题8-5 290

第六节 傅里叶级数 290

一、三角函数系的正交性 290

二、周期为2π的函数展开为傅里叶级数 292

三、周期为2l的函数的傅里叶级数 295

习题8-6 296

第八章 总习题 297

第九章 微分方程与差分方程 300

第一节 微分方程的基本概念 300

一、引言 300

二、基本概念 301

习题9-1 303

第二节 微分方程的初等积分法 303

一、可分离变量的微分方程 303

二、齐次方程 305

三、一阶线性微分方程 306

四、全微分方程 308

五、可降阶的高阶微分方程 309

习题9-2 311

第三节 二阶线性微分方程 313

一、高阶线性微分方程的概念 313

二、二阶线性微分方程通解的结构 313

三、二阶常系数齐次线性微分方程 315

四、二阶常系数非齐次线性微分方程 316

习题9-3 318

第四节 差分方程的基本概念 319

一、差分与差分方程 319

二、常系数线性差分方程解的结构 320

习题9-4 321

第五节 常系数线性差分方程 321

一、一阶常系数齐次线性差分方程 321

二、一阶常系数非齐次线性差分方程 321

三、二阶常系数齐次线性差分方程 322

四、二阶常系数非齐次线性差分方程 323

习题9-5 325

第六节 数学建模与微分方程应用简介 325

一、数学模型简介 325

二、微分方程的应用模型 327

三、差分方程的应用模型 330

第九章 总习题 331

部分习题答案与提示 333

附录一 预备知识 351

附录二 常见平面曲线 356

附录三 常见空间曲面 359

主要参考文献 362