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第一章 三维欧氏空间的曲线论 1

1 曲线 曲线的切向量 弧长 1

2 主法向量与从法向量曲率与挠率 5

3 Frenet标架Frenet公式 10

4 曲线在一点邻近的性质 13

5 曲线论基本定理 17

6 平面曲线的一些整体性质 23

6.1 关于闭曲线的一些概念 23

6.2 切线的旋转指标定理 25

6.3 凸曲线 32

6.4 等周不等式 33

6.5 四顶点定理 35

6.6 Cauchy-Crofton公式 37

7 空间曲线的整体性质 42

7.1 球面的Crofton公式 42

7.2 Fenchel定理 44

7.3 Fary-Milnor定理 45

第二章 三维欧氏空间中曲面的局部几何性质 49

1 曲面的表示 切向量 法向量 49

1.1 曲面的定义 49

1.2 切向量 切平面 50

1.3 法向量 52

1.4 曲面的参数变换 53

1.5 例 54

1.6 单参数曲面族 平面族的包络面 可展曲面 59

2 曲面的第一、第二基本形式 64

2.1 曲面的第一基本形式 64

2.2 曲面的正交参数曲线网 68

2.3 等距对应 曲面的内蕴几何学 70

2.4 共形对应 71

2.5 曲面的第二基本形式 77

3 曲面上的活动标架 曲面的基本公式 80

3.1 省略和式记号的约定 80

3.2 曲面上的活动标架曲面的基本公式 81

3.3 Weingarten变换W 85

3.4 曲面的共轭方向 渐近方向 渐近曲线 86

4 曲面上的曲率 88

4.1 曲面上曲线的法曲率 88

4.2 主方向 主曲率 90

4.3 Dupin标线 91

4.4 曲率线 92

4.5 主曲率及曲率线的计算总曲率 平均曲率 94

4.6 曲率线网 99

4.7 曲面在一点邻近处的形状 100

4.8 Gauss映射及第三基本形式 102

4.9 总曲率、平均曲率满足某些性质的曲面 105

5 曲面的基本方程及曲面论的基本定理 110

5.1 曲面的基本方程 110

5.2 曲面论的基本定理 114

6 测地曲率 测地线 120

6.1 测地曲率向量测地曲率 120

6.2 计算测地曲率的Liouville公式 121

6.3 测地线 124

6.4 法坐标系 测地极坐标系 测地坐标系 128

6.5 应用 134

6.6 测地挠率 139

6.7 Gauss-Bonnet公式 141

7 曲面上向量的平行移动 144

7.1 向量沿曲面上一条曲线的平行移动绝对微分 144

7.2 绝对微分的运算性质 147

7.3 自平行曲线 147

7.4 向量绕闭曲线一周的平行移动 总曲率的又一种表示 148

7.5 沿曲面上曲线的平行移动与欧氏平面中平行移动的关系 150

第三章 曲面的整体性质初步 152

1 曲面的整体表述 152

2 曲面上的Gauss-Bonnet公式 159

3 向量场 165

4 球面的刚性 173

5 极小曲面 176

6 完备曲面Hopf-Rinow定理 182

7 微分流形 黎曼流形 188

附录1 向量函数及其运算 199

1 向量代数 199

2 向量函数 极限 200

3 向量函数的微分 201

4 向量函数的积分 202

附录2 欧氏空间的点集拓扑 203

1 n维欧氏空间 开集 闭集 203

2 连续映射 205

3 连通集 206

4 紧致集 208

5 拓扑空间 210

5.1 拓扑空间的定义 210

5.2 拓扑空间中的闭集 212

5.3 拓扑结构的等价性 212

5.4 第二可列基公理 212

5.5 Hausdorff空间 213

5.6 连续映射 同胚映射 213

5.7 向量空间的拓扑 213

附录3 微分几何的发展简史 214

索引 217