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第一篇 高等数学的核心：微积分——以极限研究函数的学科 3

第1章 函数——微积分研究的对象 3

1.1 函数的发展及微积分的常用符号 3

1.1.1 函数的演变 3

1.1.2 数集的拓广、邻域及常用的逻辑符号 5

1.2 函数 7

1.2.1 函数的概念 7

1.2.2 函数的表示法 9

1.2.3 四类特殊函数 11

1.2.4 函数的运算 13

1.2.5 初等函数 15

习题1 19

第2章 极限——微积分的基础工具 23

2.1 数列极限 23

2.1.1 极限的思想 23

2.1.2 数列极限的“ε-N语言”——极限的定量描述 24

2.1.3 收敛数列的性质 26

2.1.4 数列极限的四则运算 27

2.1.5 数列收敛的判别法 28

2.2 函数极限 31

2.2.1 x→x0的情形 31

2.2.2 x→x- 0与x→x+ 0的情形 33

2.2.3 x→∞的情形 34

2.2.4 函数极限的性质 35

2.2.5 函数极限的四则运算法则及复合运算法则 35

2.2.6 函数极限存在的判别及两个重要的极限 37

2.2.7 无穷小量与无穷大量 38

2.3 函数的连续性——极限的应用特例 40

2.3.1 连续的概念 40

2.3.2 闭区间上连续函数的整体性质 43

习题2 45

第3章 导数与微分——变量的变化速度与局部改变量的估值 48

3.1 导数——变量的变化速度 48

3.1.1 抽象导数的两个现实原型 48

3.1.2 导数的概念 50

3.1.3 函数的连续与可导的关系 51

3.2 求导数的运算法则与基本公式 52

3.2.1 用定义求几个基本初等函数的导数 52

3.2.2 求导数的运算法则 53

3.2.3 基本初等函数的求导公式 57

3.2.4 高阶导数 60

3.3 微分——局部改变量的估值 61

3.3.1 微分的概念 61

3.3.2 微分公式与法则 63

3.3.3 微分在近似计算中的简单应用 64

习题3 65

第4章 微分中值定理和微分学的应用 67

4.1 微分中值定理——联结局部与整体的桥梁 67

4.1.1 费马定理 67

4.1.2 中值定理 68

4.2 洛必达法则——计算未定式极限的有效方法 69

4.2.1 0/0及∞／∞型未定式 70

4.2.2 其他类型的未定式 71

4.3 函数的单调性、极值与最值——利用导数研究函数的性质 72

4.3.1 单调性 72

4.3.2 函数的极值 74

4.3.3 函数的最值 76

习题4 77

第5章 不定积分——微分的逆运算 80

5.1 原函数与不定积分 80

5.1.1 原函数的概念 80

5.1.2 不定积分的概念 81

5.1.3 不定积分的基本公式及线性运算法则 83

5.2 换元积分法与分部积分法 84

5.2.1 第一换元积分法（凑微分法） 84

5.2.2 第二换元积分法 86

5.2.3 分部积分法 88

习题5 90

第6章 定积分——无限小量的累加和 92

6.1 定积分的概念 92

6.1.1 抽象定积分概念的两个现实原型 92

6.1.2 定积分的概念 94

6.1.3 可积的条件 95

6.1.4 定积分的性质 95

6.2 微积分基本定理及定积分的计算 97

6.2.1 微积分基本定理 98

6.2.2 微积分基本公式及定积分的计算 99

6.3 定积分的应用 100

6.3.1 微元法 100

6.3.2 定积分应用实例 101

6.4 广义积分——定积分的拓广 103

习题6 104

第二篇 高等数学的分支介绍 109

第7章 常微分方程——微积分的直接应用 109

7.1 常微分方程的基本概念 109

7.1.1 例子 109

7.1.2 基本概念 110

7.2 一阶常微分方程及初等积分法 111

7.2.1 可分离变量的常微分方程 112

7.2.2 两类可化为可分离变量的微分方程 114

7.2.3 一阶线性常微分方程 116

习题7 119

第8章 概率论与数理统计初步——随机数学的方法及应用 121

8.1 研究随机现象的基本概念 121

8.1.1 基本概念 121

8.1.2 事件的关系与运算 123

8.2 概率 126

8.2.1 概率的各种定义 126

8.2.2 条件概率和事件的独立性 131

8.2.3 全概率公式和贝叶斯公式 133

8.2.4 伯努利试验 135

8.3 随机变量、数学期望与方差——随机现象的数学化 137

8.3.1 随机变量的概念 137

8.3.2 随机变量的类型 138

8.3.3 数学期望与方差 142

8.4 数理统计——收集和分析数据的方法 144

8.4.1 数据的收集——统计的起点 144

8.4.2 统计推断——由部分到整体的判断 145

习题8 147

第9章 线性代数——抽象符号背后的实质 150

9.1 行列式 150

9.1.1 行列式的概念 150

9.1.2 行列式的性质 155

9.1.3 克拉默法则 157

9.2 高斯消元法 159

9.3 矩阵及其运算 161

9.3.1 矩阵的概念 161

9.3.2 矩阵的运算 164

9.4 矩阵的应用 173

9.4.1 应用矩阵解线性方程组 174

9.4.2 线性变换 178

9.4.3 解矩阵方程 180

习题9 182

第10章 多元函数微积分——一元函数微积分的推广 186

10.1 空间解析几何——数形结合的直观表达 186

10.1.1 空间直角坐标系 186

10.1.2 空间中两点间的距离 187

10.1.3 空间曲面及空间曲线的方程 188

10.1.4 常见的二次曲面及其方程 190

10.2 多元函数的概念、极限与连续——多元函数微积分的基础 193

10.2.1 多元函数的概念 193

10.2.2 二元函数的极限 195

10.2.3 二元函数的连续性 197

10.3 偏导数与全微分 198

10.3.1 一阶偏导数 198

10.3.2 高阶偏导数 200

10.3.3 全微分 201

10.3.4 全微分在近似计算中的简单应用 202

10.4 多元函数的极值和最值——多元函数微分学的应用 203

10.4.1 二元函数的极值 203

10.4.2 二元函数的最值 205

10.4.3 条件极值 205

10.5 二重积分的概念与计算 206

10.5.1 二重积分的概念 206

10.5.2 二重积分的性质 209

10.5.3 二重积分的计算 209

10.5.4 二重积分的应用 212

习题10 213

第11章 数学模型——量化问题的首要工具 215

11.1 数学模型和数学建模 215

11.1.1 数学模型 215

11.1.2 数学建模 216

11.2 哥尼斯堡七桥问题——建模示例之一 218

11.3 人口模型——建模示例之二 219

11.3.1 Malthus模型（人口指数增长模型） 220

11.3.2 Logistic模型（人口阻滞增长模型） 221

11.4 报童模型问题——建模示例之三 223

11.5 公平的席位分配问题——建模示例之四 226

习题11 229

部分习题参考答案与提示 231

参考书目 241