GAP在群论研究中的应用 群论计算及其可视化PDF电子书下载

第一章 GAP软件的初步认识 1

1.1 GAP软件的下载与安装 1

1.1.1 GAP软件的下载 1

1.1.2 GAP可执行软件的安装 2

1.1.3 GAP软件压缩包的安装 6

1.1.4 GAP软件在Intel Itanium （IA64）下窗口崩溃的问题 8

1.1.5 GAP软件与Sagemath 8

1.1.6 GAP软件在Sagemath在线系统中的使用 8

1.1.7 GAP软件载入文件运行模式 9

1.1.8 GAP软件所容载的文件类型 10

1.2 GAP软件包含的文件包（Package） 10

第二章 GAP包的使用 17

2.1安装GAP的包 17

2.2载入GAP的包 17

2.3关于GAP包操作的相关函数 19

2.4晶体学Cryst包的使用（Affine Crystallographic Groups） 20

2.4.1仿射晶体学群的构建（Construction） 20

2.4.2点群（Point Group） 21

2.4.3晶格平移（Translation Lattice） 22

2.4.4特殊方法与判断（Special Methods） 22

2.4.5最大子群（Maximal Subgroups） 23

2.4.6给定点群的空间群（Space Groups with a Given Point Group） 23

2.4.7 Wyckoff位置（Wyckoff Positions） 25

2.4.8正规化子（Normalizers） 26

2.4.9色群（Color Groups） 27

2.4.10有色仿射晶体群（Colored AffineCrystGroups） 28

2.4.11晶体空间群国际表（International Tables） 28

2.5 GAP绘图工具——GraphViz 29

2.5.1初识GraphViz 29

2.5.2 GraphViz的下载与安装 30

2.5.3 GraphViz的代码编辑与运行 31

2.5.4 GraphViz的绘图保存 35

2.5.5 GraphViz的其他运行方式 36

2.5.6 GraphViz绘图三要素 36

第三章 GAP的编程语言 38

3.1 Python语言的基本数据结构 38

3.1.1 Python中的list、tuple、dictionaries、set、matrix 38

3.1.2 Python常用函数lambda、map、filter、zip、reduce等 40

3.1.3 GAP中的list、set、record、domain与性质探测 41

3.2 GAP语言的基本语法 44

3.2.1 GAP命令执行的快捷键和命令帮助 44

3.2.2 GAP命令书写的基本要求 45

3.2.3基本运算符 47

3.2.4 GAP中的注释添加 48

3.3常用函数与函数的定义 48

3.3.1阶乘函数 48

3.3.2最大公约数与最小公倍数 48

3.3.3屏幕打印函数Print以及写入外部文件PrintTo 48

3.3.4简单的自定义函数 49

3.3.5是否为函数的判断 50

3.3.6是否为操作的判断 50

3.3.7设置对象名称（SetNameObject） 50

3.3.8对象的格式化输出（Display） 51

3.3.9排列与组合的枚举 51

3.4 GAP中的关键字与标识符 51

3.4.1 GAP中的关键字 51

3.4.2 GAP中的标识符 52

3.4.3 GAP中的变量与相关检查 52

3.5函数与过程的调用 54

3.5.1赋值表达式 54

3.5.2函数的调用 54

3.5.3条件表达式或表达式的运算 55

3.5.4过程的调用 55

3.6映射 56

3.6.1创建映射（Creating Mappings） 56

3.6.2映射的属性（Properties and Attributes of（General）Mappings） 57

3.6.3映射下的像（Images under Mappings） 57

3.6.4映射下的初像（Preimages under Mappings） 58

3.6.5同态（Magma Homomorphisms） 58

3.6.6参考乘法的映射（Mappings that Respect Multiplication） 58

3.6.7参考加法的映射（Mappings that Respect Addition） 59

3.6.8线性映射（Linear Mappings） 59

3.6.9环同态（Ring Homomorphisms） 60

3.6.10宏观映射（General Mappings） 60

3.6.11宏观映射的技术材料（Technical Matters Concerning General Mappings） 60

3.7关系 61

3.7.1常规二元关系（General Binary Relations） 61

3.7.2二元关系的属性（Properties and Attributes of Binary Relations） 61

3.7.3对点的二元关系（Binary Relations on Points） 62

3.7.4封闭操作与其他构建子（Closure Operations and Other Constructors） 62

3.7.5等价关系（Equivalence Relations） 63

3.7.6等价关系操作属性（Attributes and Operations on Equivalence Relations） 63

3.7.7等价类（Equivalence Classes） 64

第四章 循环控制 65

4.1 if循环结构 65

4.2 while循环控制结构 66

4.3 repeat…until…循环结构控制 67

4.4 for循环结构控制 69

4.5 break中断循环 72

4.6 continue结构控制 72

4.7 function结构控制 73

4.8 return返回控制 76

第五章 群的初步知识 77

5.1群的创建与判断 77

5.1.1群论与物理学、群、李群、李群的无限小生成元 77

5.1.2群的创建 82

5.1.3群的种类和资料库（Libraries） 83

5.1.4典型群（Classical Group） 86

5.1.5典型群的共轭类 89

5.1.6置换群、轮换、对换、共轭元素、传递置换群 91

5.1.7转动群SO（3）、二维特殊酉群SU（2）、小群（Small Group） 92

5.1.8有限群、无限群、有限完美群（Finite Perfect Groups） 96

5.1.9基本置换群（Primitive Permutation Groups） 99

5.1.10不可约可解矩阵群（Irreducible Solvable Matrix Groups） 101

5.1.11群的判断与信息 104

5.1.12群的性质 104

5.1.13特殊生成元、生成集 107

5.2子群、闭包与结构描述 108

5.2.1子群（Subgroup） 108

5.2.2指数（Index） 109

5.2.3子群的判断、共轭子群 110

5.2.4特殊子群与参数化子群 111

5.2.5 Sylow子群与Hall子群 113

5.2.6子群的共轭类、最大子群、正规子群（不变子群） 114

5.2.7子群级数（Subgroup Series） 118

5.2.8子群格（Subgroup Lattice） 120

5.2.9子群格计算的特殊方法 123

5.2.10质数幂（Prime Powers）表征的子群 125

5.2.11群的闭包（Closures） 125

5.2.12群元的表达、分解 126

5.2.13群的结构描述（群的类型） 127

5.3群的陪集（Coset）、商群 128

5.3.1群的陪集定义 128

5.3.2群的右陪集及相关操作 129

5.3.3群的陪集分解（Decomposition） 130

5.3.4断面（Transversal） 133

5.3.5双陪集的相关操作 133

5.3.6商群（Factor Group） 134

5.3.7舒尔覆盖、乘子、方法测试 136

5.3.8 1-上同调 138

5.4群之积 139

5.4.1群的直积 139

5.4.2群的半直积 140

5.4.3子直积（Subdirect Products） 142

5.4.4环积（Wreath Products） 142

5.4.5自由积（Free Products） 143

5.4.6群积的嵌入与映射（Embeddings and Projections） 144

5.5群的同态（Homomorphisms） 144

5.5.1创建群的同态（Creating） 144

5.5.2群同态的操作（Operations） 147

5.5.3好的同态（Nice Homomorphisms） 148

5.5.4群的自同构（Group Automorphisms） 148

5.5.5自同构的群（Groups of Automorphisms） 150

5.5.6群自同构的计算（Calculations） 151

5.5.7寻找同态（Searching for Homomorphisms） 151

5.5.8群同态的表示（Representations for Homomorphisms） 153

第六章 群的作用（Actions） 154

6.1基本作用（Basic Actions） 154

6.1.1关于群的作用 154

6.1.2基本作用（Basic Actions） 154

6.2群表示、忠实表示、等价表示、可约表示、么正表示、正则表示、舒尔引理 156

6.3群函数、正交性定理、完备性定理、群表示的特征标理论 158

6.4群的轨道（Orbits） 160

6.5稳定子（Stabilizers） 161

6.6描述像的元（Elements with Prescribed Images） 161

6.7作用的交换像（Permutation Image of an Action） 162

6.8群自身的作用（Action of a Group on Itself） 163

6.9交换诱导的元与循环（Permutation Induced by Elements and Cycles） 164

6.10作用测试与阻截系统（Action Tests and Block Systems） 166

6.11外部集合（External Sets） 167

第七章 置换群/排列群、组合数学 170

7.1排列（Permutation） 170

7.1.1判断 170

7.1.2排列的比较（Comparison of Permutations） 171

7.1.3排列的移动点（Moved Points of Permutations） 171

7.1.4符号与循环结构（Sign and Cycle Structure） 172

7.1.5创建排列（Creating Permutations） 172

7.2置换群/排列群（Permutation Groups） 173

7.2.1基本操作（The Natural Action） 173

7.2.2排列表示（Permutation Representation） 174

7.2.3对称与交错群（Symmetric and Alternating Groups） 175

7.2.4基本群（Primitive Group） 175

7.3稳定子链（Stabilizer Chains） 177

7.3.1排列群的随机方法 177

7.3.2稳定子链的构建（Construction of Stabilizer Chains） 177

7.3.3稳定子链的操作（Operations for Stabilizer Chains） 178

7.3.4修改与创建稳定子链的一些方法（Low Level Routines） 179

7.3.5大度排列群（Backtrack） 180

7.3.6大度排列群（Large Degree Permutation Groups） 180

7.4组合数学（Combinatorics） 181

7.4.1组合数（Combinatorial Numbers） 181

7.4.2组合、重排与元组（Combinations， Arrangements and Tuples） 183

7.4.3斐波那契数与卢卡斯序列（Fibonacci and Lucas Sequences） 188

第八章 矩阵与矩阵群 190

8.1矩阵 190

8.1.1矩阵的操作（Operators for Matrices） 190

8.1.2基本性质（Properties and Attributes of Matrices） 191

8.1.3矩阵构建（Matrix Constructions） 192

8.1.4随机矩阵（Random Matrices） 194

8.1.5线性方程的矩阵表示（Matrices Representing Linear Equations） 195

8.1.6本征矢与本征值（Eigenvectors and Eigenvalues） 196

8.1.7初等因子（Elementary Divisors） 197

8.1.8阶梯矩阵（Echelonized Matrices） 198

8.1.9作为行空间基的矩阵（Matrices as Basis of a Row Space） 199

8.1.10三角矩阵（Triangular Matrices） 200

8.1.11线性映射的矩阵（Matrices as Linear Mappings） 201

8.1.12有限域上的矩阵（Matrices over Finite Fields） 202

8.1.13逆矩阵与模（Inverse and Nullspace） 203

8.1.14分块矩阵（Block Matrices） 204

8.1.15矩阵之迹（Permanent of a Matrix） 204

8.2矩阵群判断与属性 205

8.2.1矩阵群的判断 205

8.2.2属性 205

8.3基本作用、GL与SL 206

8.3.1基本作用 206

8.3.2 GL与SL 207

8.4不变式（Invariant Forms） 207

8.4.1不变式操作 207

8.4.2特殊情形（Matrix Groups in Characteristic 0） 208

8.5左操作与右操作（Acting OnRight and OnLeft） 209

第九章 多循环群（Polycyclic Groups） 210

9.1多循环群 210

9.1.1多循环群的计算 210

9.1.2基本操作 211

9.2特殊积与子群 212

9.2.1特殊积（Special Products） 212

9.2.2子群（Subgroups of Polycyclic Groups-Induced Pcgs） 213

9.2.3子群（Subgroups of Polycyclic Groups-Canonical Pcgs） 214

9.3商群（Factor Groups of Polycyclic Groups） 214

9.3.1多循环群的模 214

9.3.2自表示的商群（in their Own Representation） 215

9.4 Pcgs与正则级数 216

9.5求和与交集及特殊Pcgs（Sum and Intersection of Pcgs） 217

9.5.1求和与交集 217

9.5.2特殊Pcgs（Special Pcgs） 217

9.6子商群的操作与轨道稳定子方法 218

9.6.1子商群的操作 218

9.6.2轨道稳定子方法（Orbit Stabilizer Methods） 219

9.6.3可解群中的共轭类（Conjugacy Classes in Solvable Groups） 220

9.7多循环群表示（Pc Groups） 220

9.8构建与计算Pc群（Constructing and Computing Pc Groups） 222

9.8.1构建Pc群（Constructing Pc Groups） 222

9.8.2计算Pc群（Computing Pc Groups） 223

9.9 2-上同调与扩展（2-Cohomology and Extensions） 224

9.10 Pc的表示与随机测试 227

9.10.1 Pc的表示（Coding a Pc Presentation） 227

9.10.2随机测试（Random Isomorphism Testing） 228

第十章 有限表示群（Finitely Presented Groups） 229

10.1有限表示群（Fp Groups） 229

10.1.1有限表示群的判断与创建 229

10.1.2有限表示群元的比较 231

10.2自由群中的初像与有限表示群操作 231

10.2.1自由群中的初像（Preimages in the Free Group） 231

10.2.2有限表示群的操作（Operations for Finitely Presented Groups） 232

10.3陪集表和陪集枚举（Coset Tables and Coset Enumeration） 233

10.4陪集表的标准化与子群陪集表 235

10.4.1陪集表的标准化（Standardization of coset tables） 235

10.4.2子群的陪集表（Coset tables for subgroups in the whole group） 235

10.5陪集表重写与低指数子群 235

10.5.1陪集表重写（Augmented Coset Tables and Rewriting） 235

10.5.2低指数子群（Low Index Subgroups） 236

10.6将群转化为有限表示群与子群表示 237

10.6.1将群转化为有限表示群（Converting Groups to Fp Groups） 237

10.6.2子群表示（Presentations for Subgroups） 238

10.7初像与求商方法 240

10.7.1初像（Preimages under Homomorphisms from an FpGroup） 240

10.7.2求商方法（Quotient Methods） 240

10.8子群的交换不变性与有限表示群的有限性测试 242

10.8.1子群的交换不变性（Abelian Invariants for Subgroups） 242

10.8.2有限表示群的有限性测试（Testing Finiteness） 243

第十一章 表示与Tietze转换 245

11.1表示的创建与子群的表示 245

11.1.1创建表示（Creating Presentations） 245

11.1.2子群的表示（Subgroup Presentations） 247

11.2表示关系、输出表示、表示改变 248

11.2.1表示中的关系子（Relators in a Presentation） 248

11.2.2表示输出（Printing Presentations） 248

11.2.3表示的改变（Changing Presentations） 250

11.3 Tietze转换（变换） 251

11.3.1 Tietze转换（Tietze Transformations） 251

11.3.2初级Tietze转换（Elementary Transformations） 253

11.3.3 Tietze转换引入新生成元（Introduce new Generators） 253

11.3.4依Tietze转换跟踪生成元像（Tracing generator images） 255

11.3.5 Tietze可选项（Tietze Options） 257

11.4解码的三个过程（The Decoding Tree Procedure） 257

第十二章 李代数（Lie Algebras） 260

12.1李代数的对象与构建李代数 260

12.1.1李代数的对象（Lie Objects） 261

12.1.2构建李代数（Constructing Lie algebras） 262

12.2子代数、理想、中心、直和、半直和、同构、同态 264

12.3理想的级数（Series of Ideals） 266

12.4李代数的性质（Properties of a Lie Algebra） 267

12.5半纯李代数、半单李代数、内导子、嘉当判据、卡塞米尔算子 268

12.6半单李代数与Weyl群（Semisimple Lie Algebras and Weyl Groups） 270

12.7受限李代数（Restricted Lie Algebras） 273

12.8李代数表示、李群表示定理、半单李代数表示、联合表示 274

12.9规整可展李代数（Universal Enveloping Algebras） 278

12.10有限表示李代数 279

12.11模（Modules） 280

12.11.1李代数模与上同调（Their Cohomology） 280

12.11.2半单李代数模（Modules over Semisimple Lie Algebras） 282

12.12 UEA中的阵列（Admissible Lattices in UEA） 283

12.13张量积与对称指数（Tensor Products and Exterior and Symmetric Powers） 284

第十三章 多项式与有理函数 286

13.1不确定数/未定元（Indeterminates） 286

13.2有理函数 288

13.2.1有理函数的基本操作（Operations） 288

13.2.2有理函数的属性（Properties and Attributes） 289

13.3单变量多项式 291

13.3.1单变量多项式（Univariate Polynomials） 291

13.3.2在一个不定数中的单变量多项式 292

13.4多变量多项式 294

13.5最小多项式与割圆多项式 294

13.5.1最小多项式（Minimal Polynomials） 294

13.5.2割圆多项式（Cyclotomic Polynomials） 294

13.6多项式的因式分解 295

13.6.1多项式的因式分解（Polynomial Factorization） 295

13.6.2有理数上的多项式（Polynomials over the Rationals） 295

13.6.3有理数多项式的因式分解（Factorization over the Rationals） 296

13.7劳伦多项式（Laurent Polynomials） 296

13.8单变量有理函数 297

13.8.1单变量有理函数（Univariate Rational Functions） 297

13.8.2多项式环与函数域（Polynomial Rings and Function Fields） 297

13.9单变量多项式环 299

13.9.1单变量多项式环（Univariate Polynomial Rings） 299

13.9.2单项式序（Monomial Orderings） 300

13.10 Groebner基（Groebner Bases） 302

13.11有理函数族（Rational Function Families） 303

13.12有理函数的属性 304

13.12.1有理函数的属性（The Defining Attributes of Rational Functions） 304

13.12.2有理函数的创建（Creation of Rational Functions） 304

13.13表示（Arithmetic for External Representations of Polynomials） 305

13.14测试（Cancellation Tests for Rational Functions） 305

第十四章 群论的可视化 306

14.1群论的可视化软件介绍 306

14.2 Group Explorer的下载与安装 306

14.3图谱信息结构框架 308

14.4图谱举例 309

14.4.1 Z6的图谱解析 309

14.4.2 Z20的图谱解析 311

14.4.3 Z2×Z8的图谱解析 313

14.4.4 Z2×Z4×Z2的图谱解析 314

14.4.5 Z2×Z2×Z2×Z3的图谱解析 315

14.4.6 Z3与Z4的半直积图谱解析 317

14.5 Asymptote的下载与安装 319

14.6 Asymptote可以绘制图的类型 323

14.7 Asymptote的基本绘图命令 324

14.8 Asymptote的运算符 325

14.9 Asymptote的两种运行方式 326

14.10 Asymptote中常用的箭头与线型 327

14.11 Asymptote中常用的Marker 328

14.12 Asymptote中常用的颜色 329

14.13 Asymptote绘制晶体子母群关系图的例子 329

第十五章 230个晶体空间群的可视化 336

15.1空间群可视化软件SpaceGroupViz安装 336

15.2 SpaceGroupViz中查看空间对称群 337

15.3 SpaceGroupViz中背景设置与动画演示 339

15.4空间群三维对称图的保存与第230号空间群 340

参考文献 341