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第一部分 行列式及矩阵的运算 1

考试要求 1

基本内容 1

一、行列式 1

1．行列式的定义 1

2．几个特殊的行列式 2

3．行列式的性质 2

4．行列式的展开定理 3

二、矩阵及其基本运算 4

1．矩阵的定义 4

2．矩阵的运算 5

三、矩阵的秩 7

1．k阶子式 7

2．矩阵的秩 7

3．满秩矩阵 7

4．关于矩阵秩的几个重要结果 7

四、矩阵的逆矩阵 8

1．逆矩阵的定义 8

2．逆矩阵的性质 8

3．方阵的行列式 8

4．伴随矩阵 8

5．矩阵可逆的判断方法 9

五、矩阵的初等变换及初等方阵 10

1．矩阵的三类初等行（列）变换 10

2．三类初等方阵 10

3．初等方阵与初等变换的关系 11

4．初等变换的作用 12

5．矩阵的等价 13

六、分块矩阵及其运算 14

1．分块矩阵的定义 14

2．分块矩阵的运算 14

3．缺角四块阵的相关结果 14

4．常见的分块方式 15

七、正交矩阵 15

1．正交矩阵的定义 15

2．正交矩阵的性质 16

3．正交矩阵的判断方法 16

基本计算 16

一、求数字型（尤其是含参数）行列式的值 16

二、求数字型矩阵的逆 18

三、求数字型矩阵的秩 20

典型例题 21

一、解矩阵方程 21

二、求抽象矩阵的行列式 22

三、求方阵的高次幂 23

四、判断（证明）矩阵可逆及求逆 25

第二部分 向量组、线性方程组及矩阵的秩 28

考试要求 28

基本内容 28

一、向量的线性运算与内积运算 28

1．向量的线性运算 28

2．向量的内积运算 28

3．向量组的正交规范化 29

二、线性方程组解的判别定理 29

1．线性方程组及其解向量 29

2．线性方程组解的判别定理 30

3．齐次线性方阵组的解 31

4．矩阵方程有解的判断定理 31

三、线性表示与线性相关性 32

1．线性组合与线性表示 32

2．线性相关与线性无关 32

四、向量组的等价、最（极）大无关组与秩 35

1．向量组的线性表示与等价 35

2．向量组的最大无关组与秩 35

3．向量组的秩与矩阵的秩 36

4．矩阵的等价与向量组的等价 36

5．向量组线性表示的矩阵表述 37

五、齐次线性方程组的基础解系 39

1．基础解系 39

2．基本结论 40

3．基础解系的判断方法 40

六、解的性质与通解结构 42

1．解的性质 42

2．通解结构 43

七、线性方程组的几何意义（数二、数三不要求） 43

八、向量空间及标准（规范）正交基（数二、数三不要求） 46

1．向量空间与子空间 46

2．基、维数与坐标 46

3．基变换与坐标变换 47

4．标准（规范）正交基 49

基本计算 49

一、判断具体向量组的线性相关性 49

二、求向量组的秩 50

三、非齐次线性方程组Ax=b的求解 50

典型例题 51

一、解（含参数的）线性方程组（包括解的讨论） 51

二、利用解的性质及结构求通解 58

三、讨论两个线性方程组的同解性及两个齐次线性方程组的非零公共解 59

四、给定向量组，讨论另一向量（或向量组）是否可由给定的向量组线性表示 62

五、求向量组的秩、最大无关组、并将其余向量用最大无关组线性表示 65

六、线性相关与线性无关的判别与证明、矩阵可逆的证明（续） 66

七、利用已知秩的关系式证明矩阵秩的关系式 69

第三部分 特征值与特征向量，矩阵的对角化及二次型 70

考试要求 70

基本内容 70

一、特征值与特征向量的概念及性质 70

1．特征值与特征向量的定义 70

2．特征值与特征向量的求法 71

3．特征值与矩阵的关系 71

4．特征向量的性质 72

二、特殊矩阵的特征值 73

1．三角矩阵的特征值 73

2．幂零矩阵的特征值 73

3．幂等矩阵的特征值 73

4．正交矩阵的特征值 73

三、各种运算下的特征值与特征向量 74

四、矩阵的相似对角化 76

1．矩阵的相似 76

2．矩阵的（相似）对角化 77

3．（实）对称矩阵的（相似）对角化 79

五、（实）二次型的化简 80

1．（实）二次型与实对称矩阵一一对应 80

2．化二次型为标准形 81

3．化二次型为规范形 83

4．二次型在（有心）二次曲面分类中的应用（数二、数三不要求） 85

六、正定二次型与正定矩阵 86

1．定义及等价条件 86

2．正定矩阵的性质 86

七、矩阵的合同 87

1．合同矩阵的定义 87

2．合同矩阵的性质 87

3．矩阵的等价、相似与合同三种关系的对比 87

典型例题 88

一、求矩阵的特征值与特征向量 88

1．求数值型矩阵的特征值与特征向量 88

2．求抽象矩阵的特征值与特征向量 89

二、反求参数问题 93

1．已知两个矩阵相似，求其中的参数 93

2．已知矩阵能对角化，求其中的参数 94

3．已知矩阵的特征值或特征向量，求相关矩阵中的参数 94

4．已知实对称矩阵A的特征值与某些特征向量，求矩阵A 94

三、矩阵的相似对角化与实对称矩阵的相似合同对角化 97

四、化二次型为标准形 101

五、正定性的判别与证明 102

六、二次型的应用（数二、数三不要求） 104

练习题及参考答案 106