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第1章 行列式 1

引言 1

1．1二阶与三阶行列式 2

1．1．1二阶行列式 2

1．1．2三阶行列式 4

习题1．1 6

1．2 n阶行列式的定义 6

1．2．1全排列与逆序数 6

1．2．2 n阶行列式的定义 7

1．2．3对换 10

习题1．2 13

1．3行列式的性质 13

习题1．3 25

1．4行列式按行（列）展开 27

习题1．4 35

1．5克莱姆法则 38

习题1．5 43

第2章 矩阵 44

引言 44

2．1矩阵的概念 45

2．1．1引例 45

2．1．2矩阵的定义 47

2．1．3几种特殊矩阵 47

2．1．4线性变换的概念 49

习题2．1 50

2．2矩阵的运算 50

2．2．1矩阵的加法 50

2．2．2数与矩阵的乘法 51

2．2．3矩阵与矩阵的乘法 52

2．2．4矩阵的转置 58

2．2．5方阵的行列式 60

习题2．2 61

2．3逆矩阵 63

2．3．1逆矩阵的概念与性质 63

2．3．2伴随矩阵及其与逆矩阵的关系 64

习题2．3 71

2．4分块矩阵 73

2．4．1分块矩阵的概念 73

2．4．2分块矩阵的运算 74

2．4．3克莱姆法则的证明 81

习题2．4 83

2．5矩阵的初等变换 83

2．5．1矩阵的初等变换 83

2．5．2初等矩阵 88

2．5．3求逆矩阵的初等变换法 91

2．5．4用初等变换法求解矩阵方程 95

习题2．5 97

2．6矩阵的秩 100

2．6．1矩阵的秩 100

2．6．2用初等变换求矩阵的秩 102

习题2．6 104

第3章 线性方程组 106

引言 106

3．1线性方程组的解 107

习题3．1 118

3．2向量组的线性相关性 120

3．2．1向量组的线性组合与向量组间的线性表示 120

3．2．2向量组的线性相关性 125

习题3．2 130

3．3向量组的秩 133

习题3．3 138

3．4向量空间 139

3．4．1向量空间与子空间 139

3．4．2向量空间的基与维数 141

3．4．3 ？3中的坐标变换公式 144

习题3．4 149

3．5线性方程组解的结构 151

3．5．1齐次线性方程组解的结构 151

3．5．2非齐次线性方程组解的结构 158

习题3．5 163

第4章 相似矩阵与矩阵对角化 166

引言 166

4．1矩阵的特征值与特征向量 167

4．1．1特征值与特征向量 167

4．1．2特征值与特征向量的性质 171

习题4．1 173

4．2相似矩阵与矩阵的对角化 174

4．2．1相似矩阵的概念与性质 174

4．2．2矩阵可对角化的条件 176

4．2．3矩阵对角化的步骤与应用 179

习题4．2 185

4．3正交矩阵与正交变换 187

4．3．1向量的内积与正交向量组 187

4．3．2规范正交基与基的规范正交化 189

4．3．3正交矩阵与正交变换 192

习题4．3 193

4．4实对称矩阵的对角化 195

习题4．4 200

第5章 二次型 202

引言 202

5．1二次型及其标准形 203

5．1．1二次型及其矩阵 203

5．1．2二次型的标准形 205

习题5．1 206

5．2化二次型为标准形 207

5．2．1用正交变换化二次型为标准形 207

5．2．2用配方法化二次型为标准形 212

5．2．3二次型的规范形 215

习题5．2 216

5．3正定二次型 217

5．3．1二次型有定性的概念 217

5．3．2二次型和矩阵正定的判别法 218

习题5．3 222

第6章 线性空间与线性变换 224

6．1线性空间的定义与性质 224

6．1．1线性空间的定义 224

6．1．2线性空间的性质 226

6．1．3线性空间的子空间 227

习题6．1 228

6．2基、维数与坐标 229

6．2．1线性空间的基与维数 229

6．2．2线性空间的同构 232

习题6．2 233

6．3基变换与坐标变换 234

6．3．1基变换公式与过渡矩阵 234

6．3．2坐标变换公式 235

习题6．3 238

6．4线性变换 240

6．4．1线性变换 240

6．4．2线性变换的性质 242

习题6．4 244

6．5线性变换的矩阵表示 245

6．5．1线性变换在给定基下的矩阵 245

6．5．2线性变换与其矩阵的关系 246

6．5．3线性变换在不同基下的矩阵 250

习题6．5 251

附录 代数学发展简史 253

习题答案 262

参考文献 280