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第一章 多项式 1

一、数域P上的一元多项式环P〔X〕 1

二、多项式的整除性 2

三、最大公因式与最小公倍式 6

四、因式分解 10

五、多项式的根，n次单位根 11

六、多元多项式环，对称多项式子环 19

第二章 行列式 23

一、n阶行列式的定义 23

二、行列式的性质 24

三、行列式的计算 25

四、行列式的应用——克莱姆规则 33

五、Binet—Cauchy公式 33

六、方阵和的行列式 38

七、行列式的归纳定义 40

第三章 线性方程组 42

一、线性方程组的初等变换 43

二、向量的线性相关性，向量组的秩 43

三、矩阵的秩，线性方程组有解判别定理、矩阵行等价标准形的应用 47

四、线性方程组解的结构，求基础解系的方法 51

五、关于解线性方程组的逆问题 56

六、例题 58

第四章 矩阵 62

一、矩阵环、矩阵空间 62

二、矩阵的分块 64

三、初等矩阵 68

四、矩阵的运算与矩阵秩的关系，矩阵的满秩分解 71

五、逆矩阵 79

六、广义逆矩阵 86

七、矩阵方程AX=B 89

八、几种特殊矩阵，矩阵的三角分解 97

第五章 二次型 110

一、数域P上二次型空间与对称矩阵空间的同构 110

二、矩阵的合同关系，二次型的分类 111

三、二次型的标准形 111

四、正定二次型（正定阵） 113

五、对称（反对称）矩阵性质的补充 117

六、负定、半负定、不定二次型（矩阵） 118

七、例题 118

第六章 线性空间 137

一、线性空间的定义 137

二、基底、维数、坐标 137

三、子空间、子空间的和与交 139

四、商空间（剩余类空间） 153

五、线性空间的同构 154

第七章 线性变换 157

一、线性映射与线性变换环HomP（V,V） 157

二、环HomP（V,V）与环Pn×n同构（V为n维空间） 160

三、Pn×n中的相似分类，相似于对角阵的条件，特征多项式与最小多项式 162

四、方阵A相似于准对角阵。值域、核、不变子空间、值域与核的和是直和的条件 188

第八章 λ——矩阵 209

一、λ——矩阵的基本概念 209

二、λ——矩阵的等价标准形 210

三、关于数字矩阵相似的判定 213

四、数字矩阵的标准形：有理标准形、若当标准形、求方阵A相似于若当阵的过渡阵的方法 215

五、若当标准形的应用 227

第九章 内积空间 248

一、基本概念、格兰姆矩阵与度量阵 248

二、标准正交基底的条件、施密特正交化，满秩阵的正交三角分解 255

三、子空间、内积空间的同构 267

四、n维内积空间中的共轭变换 271

五、内积空间中的规范变换（规范矩阵）实规范阵正交相似于准对角阵 274

六、酉空间中的酉变换（酉矩阵）与欧氏空间中的正交变换（正交矩阵），求正交矩阵的正交相似标准形及其过渡阵的方法，矩阵的奇异值分解 288

七、欧氏空间中的镜面反射变换（矩阵），正交阵可分解为若干个镜面反射阵之积 302

八、厄米特（对称）变换（矩阵），求实反对称阵的正交相似标准形及其过渡阵的方法 310

第十章 双线性函数 317

一、线性函数 317

二、对偶空间 318

三、双线性函数 324

四、对称（反对称）双线性函数 329

五、伪欧氏空间 338

总练习题 342