常微分方程及其应用 方法、理论、建模、计算机PDF电子书下载

第1章 引论 1

1.1 微分方程的概念和实例 1

1.1.1 导出微分方程的一些实际例子 1

1.1.2 微分方程的概念 3

1.1.3 计算机的应用 5

1.1.4 微分方程的发展 7

习题1.1 9

1.2 解的存在惟一性 10

1.2.1 例子和思路 11

1.2.2 存在惟一性定理及其证明 13

1.2.3 存在惟一性定理的说明及例子 17

习题1.2 22

1.3 一阶微分方程的向量场 23

1.3.1 向量场 23

1.3.2 积分曲线的图解法 27

习题1.3 28

复习题·应用课题·计算机实验 28

2.1.1 线性齐次方程 31

第2章 一阶微分方程 31

2.1 线性方程 31

2.1.2 线性非齐次方程 32

2.1.3 Bernoulli方程 35

2.1.4 线性微分方程的应用举例 36

2.1.5 计算机的应用 39

习题2.1 40

2.2 变量可分离的方程 42

2.2.1 变量可分离方程的求解 42

2.2.2 齐次方程 44

2.2.3 变量可分离方程的应用 46

2.2.4 计算机的应用 48

习题2.2 50

2.3 全微分方程 52

2.3.1 全微分方程的定义与充要条件 52

2.3.2 全微分方程的积分 54

2.3.3 积分因子 57

习题2.3 62

2.4.1 形如dy/dx=f(ax+by+c)的方程 64

2.4 变量替换法 64

2.4.2 形如yf(xy)dx+xg(xy)dy=0的方程 65

2.4.3 其他变换举例 66

2.4.4 Riccati方程 68

习题2.4 71

2.5 一阶隐式微分方程 72

2.5.1 可解出y或x的方程与微分法 72

2.5.2 不显含x或y的方程与参数法 76

2.5.3 奇解与包络 80

习题2.5 83

2. 6近似解法 83

2.6.1 逐次迭代法 84

2.6.2 Taylor级数法 85

2.6.3 Euler折线法 88

习题2.6 91

2.7 一阶微分方程的应用 92

2.7.1 曲线族的等角轨线 92

2.7.2 放射性废物的处理问题 94

2.7.3 我国人口的发展预测 96

习题2.7 97

复习题·应用课题·计算机实验 98

第3章 二阶及高阶微分方程 103

3.1 可降阶的高阶方程 103

3.1.1 不显含未知函数x的方程 103

3.1.2 不显含自变量t的方程 104

3.1.3 全微分方程和积分因子 105

3.1.4 可降阶的高阶方程的应用举例 106

习题3.1 113

3.2.1 线性微分方程的有关概念 114

3.2 线性微分方程的基本理论 114

3.2.2 齐次线性方程解的性质和结构 116

3.2.3 非齐次线性方程解的结构 123

习题3.2 127

3.3 线性齐次常系数方程 128

3.3.1 复值函数 128

3.3.2 常系数齐次线性方程 130

3.3.3 某些变系数线性齐次微分方程的解法 135

3.3.4 高阶常系数齐次方程的计算机求解 139

习题3.3 140

3.4 线性非齐次常系数方程的待定系数法 141

3.4.1 非齐次项为多项式的情形 142

3.4.2 非齐次项为多项式与指数函数之积的情形 145

3.4.3 非齐次项为多项式与指数函数、正余弦函数之积的情形 146

习题3.4 149

3.5 高阶微分方程的应用 150

3.5.1 机械振动 150

3.5.2 RLC电路 154

习题3.5 157

复习题·应用课题·计算机实验 158

第4章 微分方程组 161

4.1 微分方程组的概念 161

4.1.1 微分方程组的实例及有关概念 161

4.1.2 函数向量和函数矩阵 166

4.1.3 微分方程组解的存在惟一性定理 171

习题4.1 174

4.2 微分方程组的消元法和首次积分法 175

4.2.1 微分方程组的消元法 175

4.2.2 微分算子与线性微分方程组 178

4.2.3 微分方程组的首次积分法 180

习题4.2 184

4.3 线性微分方程组的基本理论 185

4.3.1 线性齐次方程组解的结构 185

4.3.2 非齐次线性微分方程组解的结构 196

习题4.3 199

4.4 常系数齐次线性微分方程组 201

4.4.1 系数矩阵A有单特征根时的解 201

4.4.2 系数矩阵A具有重特征根时的解 207

4.4.3 计算机的应用 216

4.4.4 矩阵指数函数的定义和性质 221

习题4.4 227

4.5 常系数非齐次线性微分方程组 229

4.5.1 常数变易法 229

4.5.2 线性变换法 232

4.5.3 待定系数法 234

4.5.4 计算机应用 239

习题4.5 241

4.6.1 两自由度的振动问题 243

4.6 微分方程组应用举例 243

4.6.2 胆固醇流动的仓室模型 246

4.6.3 人造卫星的轨道方程 247

4.6.4 扩音器振动模型 253

习题4.6 256

复习题·应用课题·计算机实验 256

第5章 非线性微分方程组 262

5.1 非线性方程研究的例子与概念 262

5.1.1 例子 262

5.1.2 自治微分方程与非自治微分方程、动力系统 264

5.1.3 基本定义 267

习题5.1 271

5.2 自治微分方程组解的性质 272

5.2.1 自治系统轨线的特点 273

5.2.2 自治系统解的基本性质 275

习题5.2 278

5.3 平面线性系统的奇点及相图 279

5.3.1 几个线性系统的计算机相图 280

5.3.2 平面线性系统的初等奇点 284

习题5.3 291

5.4 几乎线性系统解的稳定性 293

5.4.1 平面几乎线性系统的稳定性 293

5.4.2 高维几乎线性微分方程组的稳定性 301

习题5.4 305

5.5 Liapunov第二方法 306

5.5.1 定号函数 306

5.5.2 稳定性基本定理 307

5.5.3 稳定性定理的几何意义 312

5.5.4 二次型形式的V函数 313

习题5.5 314

5.6 二维自治微分方程组的周期解和极限环 316

5.6.1 周期解与极限环 316

5.6.2 极限环的存在性 319

5.6.3 极限环的不存在性 321

5.6.4 极限环的稳定性 323

习题5.6 323

复习题·应用课题·计算机实验 324

参考文献 327