数学的思想、方法和应用PDF电子书下载

第一章 数系与第一次数学危机 9

§1数系 9

1.1自然数与整数 9

1.2有理数与无理数 9

1.3实数 10

§2毕达哥拉斯学派关于数的认识 10

§3第一次数学危机 12

§5反证法 13

§4第一次数学危机的消除 13

习题 14

第二章 连分数及其在天文学上的应用 15

§1辗转相除法 15

§2连分数 16

2.1引言 16

2.2简单连分数和它的渐近分数 17

§3连分数在天文学上的应用 19

3.1为什么四年一闰，而百年又少一闰？ 19

3.3二十四节气 21

3.2农历的月大月小、闰年闰月 21

3.4闰月放在哪？ 22

3.5日月食 23

3.6干支纪年 24

习题 25

第三章 数学命题和证明方法 26

§1概念，概念的外延和内涵 26

§2等价关系与分类（划分） 27

§4公理 28

§3定义 28

§5定理 29

5.1定理的结构 29

5.2定理的形式 30

5.3定理的互逆性 30

习题 31

§6充分条件和必要条件 31

6.1充分的特征 31

6.2必要的特征 32

6.3必要而且充分的特征 32

§7演绎法 33

习题 33

§8分析与综合 34

§9归纳法 35

§10数学归纳法 36

习题 37

第四章 欧氏几何与第五公设 38

§1几何学的诞生 38

§2几何学的研究对象和研究方法 39

§3欧几里得的《原本》 40

§4第五公设 41

§5非欧几里得几何的诞生 44

§6罗巴切夫斯基的解答 45

§7非欧几何的相容性 45

§8黎曼的非欧几何 46

§9非欧几何诞生的意义 47

第五章 概率论初步 48

§1随机现象 48

1.1必然现象与随机现象 48

2.1基本事件与复杂事件 50

§2事件的关系与运算 50

1.3随机事件 50

1.2随机实验 50

2.2事件的集合表示，样本空间 52

2.3事件的相等与包含 52

2.4事件的和、积与差 53

2.5对立事件 54

2.6互不相容事件完备组 54

2.7运算法则 54

习题 55

§3排列与组合 56

习题 58

§4概率 58

4.1概率的概念 58

4.2概率的统计定义 58

4.3概率的性质 59

4.4古典概型 60

4.5几何概率 62

4.6概率的数学定义 63

4.7条件概率与乘法公式 64

4.8独立性 66

4.9全概率公式 67

4.10逆概率公式（贝叶斯公式） 68

习题 69

§5两个实例 70

5.1色盲的遗传问题 70

5.2孟德尔遗传定律 72

第六章 线性代数初步 74

§1二元一次联立方程组与二阶行列式 74

§2三元一次联立方程组与三阶行列式 76

习题 79

§3行列式的性质 80

3.1矩阵、行列式、余子式 80

3.2按代数余子式展开行列式 81

3.3行列式的性质 83

习题 84

§4高斯消元法 85

4.1消元法 85

4.2线性方程组的增广矩阵 86

4.3高斯消元法 88

4.4高斯-若当消元法 91

习题 92

§5矩阵代数 92

5.1矩阵 92

5.2矩阵的加法与数乘矩阵 93

5.3矩阵的乘法 94

5.4逆矩阵 96

5.5线性方程组 99

习题 100

第七章 空间解析几何 102

§1空间直角坐标系 103

1.1空间直角坐标系 103

1.2点的坐标 104

习题 105

§2向量代数 105

2.1标量与向量 105

2.2向量的加减法 106

2.3开普勒三定律 106

2.4开普勒第二定律的牛顿证明 107

2.5向量的数乘运算 108

2.7向量的坐标 109

2.6向量在轴上的投影 109

2.8向量的模与方向余弦 110

2.9向量的数量积 112

2.10向量的叉乘 114

2.11混合积 116

习题 116

§3平面 117

3.1点法式方程 117

3.3截距式方程 118

3.2一般式方程 118

3.4两平面间的关系 119

习题 119

§4空间中的直线 120

4.1直线的参数方程 120

4.2直线的标准方程 121

4.3直线的一般方程 121

4.4三元一次联立方程组的几何解释 122

5.1图形与方程 123

习题 123

§5二次曲面 123

5.2球面 124

5.3椭球面 124

5.4平行截口法 125

5.5椭圆抛物面 125

5.6单叶双曲面 126

5.7双叶双曲面 127

5.8双曲抛物面 128

5.9二次柱面 129

5.10二次锥面 130

5.11二次曲面小结 131

习题 132

第八章 函数与极限 133

§1预备知识 133

1.1区间 133

1.2绝对值 133

1.3邻域 134

2.2函数概念 135

2.1变量与常量 135

§2函数 135

2.3单调函数 136

2.4函数的奇偶性 137

2.5反函数 138

2.6常数函数与线性函数 139

2.7基本初等函数的图形 140

2.8复合函数与初等函数 144

§3极限概念 145

3.1抛物线下的面积 145

3.2序列的极限 146

3.3切线问题 147

3.4函数的极限 148

3.5单边极限 149

3.6极限的四则运算 151

3.7两个重要极限 152

习题 154

§4再论函数与极限 154

4.1函数 154

4.2极限 156

§1引言 157

第九章 导数 157

§2预备知识 159

2.1△符号 159

2.2连续性 160

2.3平均变化率 161

习题 161

§3导数概念 162

3.1瞬时速度 162

3.3导数定义 163

3.2再论切线问题 163

3.4可导与连续 165

§4导数公式 165

4.1常数函数的导数 166

4.2函数f（x）＝x的导数 166

4.3幂函数的导数 166

4.4导数的四则运算 167

4.5链锁法则 169

4.6高阶导数 171

5.1正弦函数 172

习题 172

§5三角函数的导数公式 172

5.2余弦函数 173

5.3正切函数 173

5.4余切函数 173

习题 173

§6指数函数与对数函数的导数公式 173

6.1对数函数 173

6.2指数函数 174

7.2反余弦函数 175

7.3反正切函数 175

6.3幂函数 175

7.1反正弦函数 175

§7反三角函数的导数公式 175

7.4反余切函数 176

习题 176

§8基本公式表 176

8.1基本初等函数的求导公式 176

8.2导数运算法则 176

§9相对变化率 177

习题 178

§10微商中值定理 178

§11利用导数研究函数 180

11.1函数的单调性 180

11.2局部极值 181

11.3曲线的凹凸 183

11.4曲线的渐近线 184

11.5函数的图形 185

11.6在经济学中的应用 187

11.7极值的应用 188

习题 189

第十章 微分 191

§1微分定义 191

§2微分公式 192

§3基本初等函数微分表 193

§4微分的应用 194

习题 195

5.2导数与微分小结 196

5.1导数与微分的概念 196

§5再论导数与微分 196

第十一章 不定积分 198

§1基本概念 198

§2不定积分的简单运算法则 199

§3基本初等函数的不定积分表 200

§4第一换元积分法 201

习题 203

§5第二换元积分法 203

§6分部积分法 205

习题 205

习题 207

第十二章 定积分 208

§1定积分的定义 208

1.1面积问题 208

1.2路程问题 209

1.3定积分的定义 210

1.4定积分的几何意义 211

§2定积分的简单性质 212

§3微积分基本定理 215

习题 217

§4定积分的换元积分法与分部积分法 217

4.1换元积分法 217

4.2分部积分法 219

习题 219

§5定积分的应用 220

5.1如何建立积分式 220

5.2平面图形的面积 221

5.3旋转体的体积 222

5.4平均值 224

5.5变力作功 225

习题 226

§6再论微分学与积分学 227

6.1微分学 227

6.2积分学 227

第十三章 数学模型 229

§1选票分配 229

1.1选举悖论 230

1.2选票分配问题 231

1.3亚拉巴马悖论 232

§2体育训练问题 233

§3指数增长与衰减问题 235

3.1一个简单的微分方程 235

3.2人口模型 237

3.3考古学中的应用 238

3.4牛顿冷却定律 240

3.5范·米格伦伪造名画案 241

3.6再论人口模型 245

3.7新产品销售模型 247

习题 248

第十四章 数学的地位和作用 249

§1数学教育 249

1.1关于素质教育 249

1.2数学素养 249

1.3数学是思维的工具 250

1.4数学与美 250

1.5数学提供了有特色的思考方式 251

1.6数学的特点 251

1.7培养四种本领 252

1.8数学与就业 254

1.9当前科学发展的主要趋势 255

§2自然数是万物之母 256

2.1数学的重要性 256

2.2古希腊的数学 256

§3数学与自然科学 258

3.1宇宙的和谐 258

3.2物理学 261

3.3生物学 261

4.1数学与西方政治 262

§4数学与人文科学 262

4.2人口论 265

4.3统计方法 265

§5数学与艺术 266

5.1博里叶的功绩 266

5.2数学与绘画 267

5.3从艺术中诞生的科学 271

§6笛卡儿的方法论及其影响 272

附录习题答案与提示 274

参考书目 280