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第一章函数概念 1

14．函数概念的定义 1

§1．函数及其表示法 1

目次（上册） 1

序 1

原序 1

15．函数表示法 2

引论 4

§1．数学解析及其意义 4

1．“初等”及“高等”数学 4

16．记号 5

§2．函数的记号及分类 5

2．量的概念。变量及函数依从关系 6

17．复合函数概念。初等函数 8

3．数学解析与现实 8

18．＊标有星号的全是用小字排的。函数的分类 10

§2．一些历史知识 11

4．大数学家：欧拉，罗巴契夫斯基，契伯雪夫 11

19．函数的定义域及解析式子的定义域 14

§3．函数的简略研究 14

5．伟大的应用数学家：茹可夫斯基，贾普利金，克路洛夫 14

20．函数性质的要素 17

预篇。实数及近似值的四则计算法 17

§1．实数 17

6．实数。数轴 17

7．区间。绝对值 20

21．从图形上来研究函数 21

§2．近似计算法 22

8．计算法综述 22

22．成正比的依从关系及线性函数 23

§4．一些最简单的函数 23

9．近似值。误差 25

23．＊线性插值法 26

24．二次函数 28

25．＊三次函数 30

10．＊四则运算 30

26．成反比的依从关系及线性分式函数 33

11．数学计算机综述 36

§3．＊计算机 36

§5．幂函数。指数函数及对数函数 37

27．反函数概念 37

12．四则计算机 38

13．解析计算机及自动操纵计算机 40

28．幂函数 40

29．指数函数及双曲线函数 42

30．对数函数 45

§6．三角函数及反三角函数 47

31．三角函数 47

32．简单的与复杂的谐振荡 49

33．反三角函数 53

第二章极限概念 57

§1．基本定义 57

34．整标函数的极限 57

35．＊举例 60

36．连续宗标的函数的极限 62

§2．无穷大量。极限运算法则 68

37．无穷大量。有界函数 68

38．无穷小量 73

39．极限运算法则 75

40．＊例题 79

41．极限存在的准则 81

§3．连续函数 84

42．函数的连续性 84

43．函数的不连续点 86

44．连续函数的普遍性质 89

45．施行于连续函数的运算 92

46．初等函数的连续性 95

§4．无穷小的比较。一些值得注意的极限 99

47．无穷小的比较。相当无穷小 99

48．无穷小比值的例题 103

49．数？。自然对数 107

§1．导函数的概念。函数的变化率 113

50．几个物理上的概念 113

第三章导函数与微分·微分法 113

51．导函数 117

52．导函数的几何解释 122

53．＊抛物线的几个性质 126

§2．函数的微分法 127

54．微分法则 127

55．复合函数的微分法 131

56．基本初等函数的导函数 135

57．对数微分法 141

58．图解微分法 144

§3．微分概念。函数的可微分性 147

59．微分及其几何意义 147

60．微分的性质 152

61．微分在近似计算法上的应用 154

62．函数的可微分性 158

§4．作为变化率的导数（其他的例子） 161

63．函数对于函数的变化率 161

64．曲线矢径的变化率 166

65．曲线弧长的变化率 170

66．＊有机体增长过程 174

§5．累次微分法 176

67．高阶导函数 176

69．高阶微分 184

68．莱布尼兹公式 186

70．按“元素”作图法 190

§1．函数“在一点处”的性态 190

第四章函数的研究及曲线的研究 190

71．函数“在一点处”的性态 191

72．函数“在一点处”性态的鉴定准则 195

§2．一阶导数的应用 198

73．洛勒定理及拉格伦日定理 198

74．拉格伦日公式在近似计算上的应用 202

75．函数在区间上的性态 205

76．举例 209

77．原函数 215

§3．二阶导数的应用 217

78．极值点的第二种充分条件 217

79．曲线的凸性及四性 220

80．举例 225

§4．函数研究中的补充问题。方程解法 229

81．柯西定理 229

82．罗彼塔法则 231

83．函数的渐近变化情形及曲线的渐近线 238

84．函数研究的一般程序 244

85．方程解法 248

§5．台劳公式及其应用 255

86．多项式的台劳公式 255

87．台劳公式 258

88．台劳公式的一些应用。举例 262

89．多项式近似问题的提法。契伯雪夫近似法 269

90．曲线间的接触度 277

§6．曲线间的接触度。曲率 277

91．曲率 279

92．曲率半径及曲率中心。曲线的滑溜度 286

93．渐屈线及渐伸线 289

94．＊举例 292

目次（上册Ⅱ） 297

第五章定积分 297

§1．定积分概念 297

95．曲边梯形的面积 297

96．物理学中的例子 305

97．定积分存在定理 308

98．定积分计算法 313

§2．定积分的基本性质 313

99．定积分的最简单性质及其几何意义 317

100．积分区间的变向及分割法 319

101．定积分估值法 322

§3．定积分的基本性质（续）·牛顿-莱布尼兹公式 327

102．中值定理。函数的中值 327

103．积分对其上限的导函数 332

104．牛顿-莱布尼兹公式 336

第六章不定积分。积分法 341

§1．不定积分的概念及不定积分法 341

105．不定积分。基本积分表 341

106．最简单的积分法则 343

107．＊举例 345

108．分部积分法 350

§2．基本积分方法 350

109．变量置换法 353

§3．可积分函数的基本类型 359

110．＊备用的代数知识 359

111．分式有理函数 363

112．＊举例 368

113．＊奥氏法 371

114．几种无理函数的积分法 374

115．三角函数的积分法 379

116．x及？的有理函数 383

117．总的说明 386

118．用分部积分法算定积分 391

第七章定积分（续）。旁义积分 391

§1．积分计算法 391

119．定积分中的变量置换法 394

§2．近似积分法 398

120．数值积分法 398

121．图解积分法。积分制图器 404

§3．旁义积分 409

122．积分限为无穷大时的积分 409

123．无穷型积分限旁义积分的存在准则 412

124．无穷型不连续函数的积分 416

125．不连续函数的积分存在的准则 419

126．“元素相加”法 425

第八章积分的应用 425

§1．一些最简单的问题及其解法 425

127．“微分方程”法。解题程序 432

128．＊举例 432

§2．几何学及静力学上的一些问题 437

129．图形面积 437

130．＊测面器及积分器 440

131．曲线长度 443

132．体积 448

134．＊重心及古尔琴定理 455

§3．其他例子 462

135．＊物理问题 462

136．＊化学反应 465

第九章级数 469

§1．数项级数 469

137．级数概念。收敛性 469

133．旋转曲面的面积 473

138．正项级数。收敛的充分准则 474

139．任意项级数。绝对收敛 482

140．＊施行于级数的运算 485

§2．函数项级数 490

141．定义。均匀收敛 490

142．函数项级数的积分法及微分法 496

§3．幂级数 499