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第一章 整数的因子分解 1

1.1 唯一分解定理 1

1.2 辗转相除法(欧氏除法) 4

1.3 Mersenne 素数和Fermat素数 7

1.4 整系数多项式 9

1.5 环Z[i]和Z[ω] 12

习题一 14

第二章 同余式 16

2.1 孙子定理 16

2.2 剩余类环 19

2.3 Euler函数？(m) 21

2.4 同余方程 23

2.5 原根 28

2.6 缩系的构造 31

习题二 34

第三章 二次剩余 36

3.1 定义及Euler判别条件 36

3.2 Legendre符号 38

3.3 Jacobi符号 43

习题三 45

4.1 剩余系的表示 46

第四章 特征 46

4.2 特征 47

4.3 原特征 51

4.4 特征和 54

4.5 Gauss和 57

习题四 59

第五章 连分数 61

5.1 简单连分数 61

5.2 用连分数表实数 63

5.3 最佳渐近分数 66

5.4 Legendre判别条件 67

习题五 69

第六章 代数数域 71

6.1 代数整数 71

6.2 Dedekind整环 78

6.3 阶的一些性质 89

第七章 椭圆曲线 95

7.1 椭圆曲线的群结构 95

7.2 除子类群 102

7.3 同种映射 104

7.4 Tate模和Weil对 110

7.5 有限域上的椭圆曲线 116

习题七 119

第八章 在密码学中的一些应用 121

8.1 RSA公钥密码 121

8.2 Diffie-Hellman体制 124

8.3 ElGamal算法 125

8.4 基于背包问题的公钥密码 126

8.5 秘密共享 127

9.1 Fermat小定理及伪素数 130

第九章 素性检验 130

9.2 强伪素数及Miller-Rabin检验 131

9.3 利用n-1的因子分解的素性检验 135

9.4 利用n+1的因子分解的素性检验 136

9.5 分圆不素性检验 139

9.6 基于椭圆曲线的素性检验 144

第十章 大整数因子分解算法 146

10.1 连分数因子分解算法 146

10.2 二次筛法 148

10.3 Pollard的P-1因子分解算法 150

10.4 椭圆曲线因子分解算法 150

10.5 数域筛法 152

习题十 169

第十一章 椭圆曲线上的离散对数 170

11.1 椭圆曲线公钥密码 170

11.2 小步-大步法 174

11.3 家袋鼠和野袋鼠 175

11.4 MOV约化 177

11.5 FR约化 183

11.6 SSSA约化 188

11.7 有限域上离散对数的计算 192

12.1 超椭圆曲线的Jacobian 204

第十二章 超椭圆曲线 204

12.2 虚二次代数函数域 208

12.3 基于超椭圆曲线的公钥密码 210

附录 一些常用算法 212

A.1 不可约多项式的判别 212

A.2 有限域中平方根的求解 213

A.3 有限域上的分解 215

A.4 Hensel引理 217

A.5 格 219

A.6 Z[X]中多项式的分解 228

参考文献 230