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上卷目录 1

序言 1

引论 有限差理论的问题提法 1

1．插补问题 1

2．函数求和问题及有限差方程式 3

3．复变数解析函数的有限差理论的问题提法 4

第一章 插补问题 6

§1．插补问题的一般提法 6

1．差分概念 6

2．拉格朗奇公式 8

3．牛顿公式 14

§2．契伯雪夫多项式 16

§3．对于自变数等距离值的牛顿公式 26

1．牛顿公式的第一结论 26

2．牛顿公式的第二结论 28

3．广义乘幂概念 29

4．例子 30

§4．插补基点为一般分布时，差分的各种表示法 32

1．差分的第一种表示法 32

2．差分的第二种表示法及对于任意插补基点的牛顿公式 32

3．差分的第三种表示法及爱尔米特公式 38

§ 5．对于三角阵列的插补步聚 41

1．问题的提法及基本公式 41

2．一般插补公式的余项的估值及以插补级数表示函数的基本定理 46

3．以一般插补级数表示函数的基本定理 52

§6．函数的近似式 58

1．问题的提法及连续函数的性质 58

2．函数的近似多项式 62

3．拉格朗奇插补步骤的收敛性及斯·恩·伯恩斯坦定理 70

4．斯·恩·伯恩斯坦多项式及其推广 79

5．在复变平面内，函数的近似多项式。法贝尔多项式 90

第二章 牛顿级数 95

§1．辅助原理 95

1．一些常遇到的估值 95

2．格马函数的定义及其基本性质 99

3．Г（z）的渐近表示法 103

4．整解析函数性态的一些共同特征 107

5．凸域的一些性质。凸域的支持函数 112

6．标准型一阶整解析函数增减性的指示数与此整函数的联合函数的奇点分布间的关系 116

7．叙列的密度及收敛指数 119

§2．插补基点为1,2,3，…时的牛顿公式 122

1．收敛横标 122

2．由牛顿级数所表示之函数的性质 135

3．解析函数的牛顿级数展式 141

1．牛顿级数的收敛区域 153

§3．对于任意插补基点的牛顿级数 153

2．在平面有限部份上，插补基点叙列的极限点为有限个数的情形 161

3．当插补基点仅在无穷远处具有凝聚点时的牛顿插补步骤 168

4．插补步骤对于数论中某些问题的解的应用 178

中俄名词对照表 193

下卷目录 195

第三章 具有预给元素的整函数的构成 195

§1．问题的提法及按照整函数的值构成整函数 195

1．按照整函数在某一点叙列处的值构成整函数 195

2．有理分式的插补法及关于整函数的一个定理 202

3．按逐次导数来确定整函数 206

4．按照预给元素以确定整函的一般问题的提法 210

§2．关于不高于一阶的标准整函数在复变域内的矩量问题 211

§3．一般插补问题的特殊情形 223

1．给定了数F（n），n＝0,1,2， 223

2．给定了数F（n）（n），n＝0,1,2， 225

3．给定了数△nF（n），n＝0,1,2, 227

4．给定了数△nF（-？），n＝0,1,2, 229

§4．常系数无穷阶线性微分方程式及某一些转化成解同类方程的 230

插补问题 230

1．一般定理 230

2．给定了数F（np＋s）（s），0≤s≤p－1,n＝0,1,2, 233

3．给定了数F（np）（s），0≤s≤p－1,n＝0,1,2, 238

4．给定了数Anp,s＝？∫0？s（ζ）ζnpf（ζ）dζ，1≤s≤p，n＝0,1,2, 242

第四章 函数的求和问题。贝努里数及里努贝多项式 244

§1．问题的提法。初等求和形情 244

1．求和问题与按照给定差求出函数之间的连系 244

2．初等求和情形 246

3．关于方程△F（x）＝φ（x）的解的一般注意事项 249

4．当φ（x）是多项式时，方程△F（x）＝φ（x）的解 250

1．贝努里数的计算 254

§2．贝努里数和贝努里多项式 254

2．贝努里数的更进一步的性质 257

3．福尔马小定理 260

4．贝努里数的导出函数的另一形式 261

5．斯徒特定理 263

6．贝努里多项式的解析性质 269

7．贝努里多项式的乘法定理 270

8．贝努里多项式的几何性质 271

§3．欧拉公式 274

1．预备事项 274

2．具有余项之欧拉公式的严格结果 278

3．欧拉公式的余项 283

4．欧拉公式的余项的其他形式 283

5．斯梯林公式 288

§1．问题的提法 291

第五章 有限差方程式 291

§2．一阶线性方程 294

1．齐次线性方程 294

2．非齐次线性方程 295

§3．线性方程。通论 296

1．线性方程的一般形状 296

2．关于线性方程的解的基本定理 297

3．函数的线性相关与线性无关 300

4．线性齐次方程特解的性质 305

5．非齐次线性方程。变动参数法 309

6．以简单和式表示多重和式 312

§4．常系数线性方程 315

1．齐次线性方程、特征方程 315

2．重根情形 318

3．通解及特解的线性无关性 320

4．非齐次线性方程的解 324

5．例子 325

§5．庞卡莱定理 334

1．问题的提法 334

2．庞卡莱定理 335

3．皮罗定理 346

4．关于庞卡莱定理的例子 347

§6．荷德尔定理 349

§7．常系数无穷阶线性微分方程 356

1．作为线性有限差方程的推广的无穷阶方程 356

2．常系数无穷阶线性齐次微分方程 357

3．由算子L（F）所产生的推广的贝努里函数 369

4．非齐次线性方程 371

5．函数的周期概念的推广 376

关于有限差理论的参考文献（中俄文对照） 389