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第1章 一维内插、近似和误差 1

1.1 线性内插和三角基函数 1

1.2 高阶多项式的内插和基函数 4

1.2.1 拉格朗日内插 4

1.2.2 Hermite内插 6

1.3 函数表示的误差 13

1.3.1 内插误差 13

1.3.2 频谱完整性和其他频域问题 18

1.4 具有边界奇异点的近似函数 22

1.4.1 奇异扩展功能 25

1.4.2 符合精确的近似奇异加多项式基函数的奇异函数 26

1.4.3 不允许精确近似的奇异函数 28

1.5 小结 32

参考文献 32

第2章 二维和三维的标量插值 34

2.1 二维、三维网格和典型单元 34

2.1.1 协调网格和几何数据基结构的基础 35

2.2 西尔韦斯特插值多项式 37

2.3 典型单元的归一化坐标 40

2.4 三角形单元 42

2.4.1 单元几何表达和局部矢量基 42

2.4.2 拉格朗日基函数、插值和梯度近似值 46

2.4.3 插值误差 50

2.4.4 谱完整性和其他频域问题 52

2.4.5 弯曲的单元 56

2.5 四边形单元 58

2.5.1 单元几何表达和局部矢量基 58

2.5.2 拉格朗日基函数、插值和梯度近似值 60

2.6 四面体单元 62

2.6.1 单元几何表示和局部矢量基 62

2.6.2 拉格朗日基函数 65

2.7 长方体单元 67

2.7.1 单元几何表示和局部矢量基 67

2.7.2 拉格朗日基函数 70

2.8 三棱柱单元 72

2.8.1 单元的几何表达和局部矢量基 72

2.8.2 拉格朗日基函数 75

2.9 形状函数的生成 77

参考文献 77

第3章 二维和三维空间中矢量场的低阶多项式表示 78

3.1 三角形的二维矢量函数 78

3.1.1 线性旋度一致矢量基函数 79

3.1.2 三角形的一种简单的旋度一致表示 81

3.1.3 替换方法：三角形的散度一致表示 82

3.2 切线矢量对法向矢量连续性：旋度一致基和散度一致基 83

3.2.1 其他专业术语 86

3.3 矩形单元的二维表示 86

3.4 二维空间准亥姆霍兹分解：环函数和星函数 89

3.5 旋度一致基和散度一致基之间的投影 91

3.6 四面体单元的三维空间表示：旋度一致基 92

3.7 四面体单元的三维空间表示：散度一致基 94

3.8 长方体单元的三维空间表示：旋度一致情况 95

3.9 长方体单元的散度一致基 96

3.10 四面体网格的准亥姆霍兹分解 96

3.11 斜网格或有曲面网格的矢量基函数 97

3.11.1 基和倒数基矢量 98

3.11.2 协变和逆变映射 101

3.11.3 父空间中的导数 104

3.11.4 表面约束 105

3.11.5 实例：四边形单元 108

3.12 混合阶Nédélec空间 109

3.13 德拉姆综合体 114

3.14 小结 116

参考文献 116

第4章 任意阶插值矢量基 119

4.1 矢量基的发展 119

4.2 矢量基的构造 120

4.3 针对典型2D空间单元的零阶矢量基 122

4.4 典型3D空间单元的零阶矢量基 123

4.5 高阶矢量基构建方法 124

4.5.1 2D空间单元高阶矢量基的完备性 124

4.5.2 3D空间单元高阶矢量基的完备性 125

4.5.3 移动西尔韦斯特多项式在移动元素内插值点上的应用 127

4.6 典型2D空间单元的矢量基 127

4.6.1 只在三角形单元的一条边上的带有边插值点的a（p，ξ）多项式 127

4.6.2 只在四边形单元的一条边上的带有边插值点的a（p，ξ）多项式 130

4.6.3 三角形单元的p阶矢量基 131

4.6.4 四边形单元的p阶矢量基 134

4.7 3D单元的矢量基 136

4.7.1 四面体单元 136

4.7.2 长方体单元 142

4.7.3 三棱柱单元 148

4.8 表格 155

参考文献 174

第5章 分层级基 177

5.1 病态条件问题 178

5.2 分层级标量基 182

5.2.1 四面体和三角形基 182

5.2.2 四边形基 194

5.2.3 长方体基 195

5.2.4 棱柱基 196

5.3 分层级旋度一致矢量基 198

5.3.1 四面体和三角形基 200

5.3.2 四面体和长方体基 210

5.3.3 棱柱基 220

5.3.4 条件数对比 234

5.4 分层级散度一致矢量基 240

5.4.1 相邻单元公共面的参考变量 242

5.4.2 四面体基 244

5.4.3 棱柱基 248

5.4.4 长方体基 252

5.4.5 数值结果及与其他基的对比 254

5.5 结论 257

参考文献 257

第6章 积分方程和微分方程的数值计算 261

6.1 电场积分方程 261

6.2 曲面单元的合并 264

6.3 利用奇异减法和消除技术处理Green函数的奇异性 269

6.4 例子：散射横截面计算 275

6.5 矢量亥姆霍兹方程 279

6.6 腔体矢量亥姆霍兹方程的数值解 281

6.7 用自适应p－优化和分层级基避免伪模式 286

6.8 具有旋度一致基的空间单元的应用 287

6.9 应用：深腔散射 289

6.10 小结 291

参考文献 292

第7章 关于奇异场高阶基的介绍 295

7.1 边界场的奇异点 296

7.2 三角极坐标变换 298

7.3 三角形的奇异标量基函数 301

7.3.1 代用型的最低阶数基 301

7.3.2 代用型的高阶基 302

7.3.3 加性奇异基函数 303

7.3.4 无理代数标量基函数 309

7.3.5 范例：有一个奇异度的二次基 311

7.3.6 范例：有两个奇异度的立方基 312

7.3.7 估计奇异基的积分 313

7.4 标量基的数值结果 316

7.4.1 边波导结构的特征值 317

7.4.2 改变半径和方位角数目的影响 324

7.5 三角形的奇异矢量基函数 331

7.5.1 替代旋度一致矢量基 331

7.5.2 加性旋度一致矢量基 332

7.6 奇异分层Meixner基集 333

7.6.1 奇异点系数 333

7.6.2 辅助函数 334

7.6.3 奇异场的表示 337

7.6.4 奇异标量场 337

7.6.5 奇异静态矢量基 337

7.6.6 奇异非静态矢量基 339

7.6.7 径向函数R n和Sn的数值计算 340

7.6.8 范例：有一个奇异指数的阶数p＝1.5的基 341

7.6.9 范例：有两个奇异指数的阶数p＝2.5的基 341

7.7 数值结果 342

7.8 包含拐角的非均匀波导结构的数值结果 359

7.9 具有刃状奇异点的薄金属板的数值结果 364

7.10 小结 367

参考文献 367