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第一章 微分方程组解的一般定理 1

1.积分曲线 1

1.积分曲线.正向终极时间? 1

2.?=b 的条件.n=1的情形 4

3.?=b 的条件.一般情形 7

4.积分曲线的有界性 9

5.Carathéodory 意义下的积分曲线 11

2.Lipschitz 系统和 Carathéodory 系统 12

1.推广的 Gronwall 引理 12

2.Lipschitz 系统.对于两个积分曲线弧的|x(t)-y(t)|的估值 13

3.唯一性定理.对初值点 p0及 f 的连续相依性 15

4.Carathéodory 系统 16

3.系统(1.1.1)的解?(t，t0，x0) 17

1.函数?(t，t0，x0).唯一性情形 17

2.?(t，t0，x0)的连续性 19

3.稳定性 19

4.线性系统的函数?(t，t0，x0) 23

5.?(t，t0，x0)的可微性 25

6.含参数的系统 26

4.周期解 27

1.周期积分曲线.周期轨道 27

2.例外周期解 28

5.自治系统 31

1.自治系统及其积分曲线的性质 31

2.轨线.相空间 32

3.奇点.环.开轨线 34

补充 35

参考文献 38

第二章 特殊的平面自治系统 40

1.线性系统 40

1.奇点 40

2.线性系统的孤立奇点的标准型 42

3.相平面的仿射变换 45

4.奇点类型的分类 47

2.齐次系统 53

1.齐次系统 53

2.不变射线.星形结点 54

3.中心与焦点 55

4.孤立不变射线.正规角域 57

5.轨线在正规角域中的性态 61

6.例子 68

3.解析系统 70

1.引言 70

2.例子 72

3.函数 Z(x，y)，N(x，y) 75

4.引理 78

5.趋于 O 的轨线.焦点 79

6.方程 N(θ)=0.临界点 82

7.对 Z(x，y)的研究.Z(x，y)定号的情形 85

8.Z-扇形域的分类 86

4.中心问题 90

1.中心问题 90

2.N(θ)≠0时的中心问题 90

3.m=1的情形.Poincaré 方法 93

4.m=1的情形.关于中心的 Poincaré 定理.E.Picard.J.Chazy 的证明 97

5.m=1的情形.周期的计算 101

6.关于中心的 Poincaré 充分条件.应用于月球运动的 Delaunay 方程 101

7.有关中心问题的文献 102

5.无穷远奇点 105

1.Poincaré 球面.无穷远奇点 105

2.例子 110

3.齐次系统的无穷远奇点 112

补充 114

参考文献 118

第三章 Briot-Bouquet 奇点 120

1.解析情形的 Briot-Bouquet 定理 120

1.引言 120

2.p 不为正整数时的 Briot-Bouquet 方程.全纯解的研究 122

3.p 为正整数的情形.全纯解的存在性 124

4.p=0时方程的解 126

2.在解析情形下，把具有一个孤立奇点的微分方程化为标准型.关于第二类简化方程的轨线性态的 Bendixson 定理 128

1.第一类和第二类简化型式 128

2.I.Bendixson 关于第二类简化方程的轨线性态的结果 134

3.在实数域内 Briot-Bouquet 方程的结点情形.Wintner 定理 137

1.A.Wintner 引理 137

2.A.Wintner 第一定理 141

3.A.Wintner 第二定理 143

补充 145

参考文献 150

第四章 平面自治系统 152

1.极限集 152

1.轨线γ的极限集 A(γ)，Ω(γ).一般性质 152

2.轨线的分类 155

3.常点与常轨线 157

4.(平面)闭轨线，平面环的稳定性 159

5.(平面)常极限轨线 161

6.有界极限集Ω(γ)的结构 164

7.由一个奇点构成的极限集 166

8.无界集Ω(γ)的结构 169

2.平面环 170

1.极限环 170

2.极限环的分类.轨道稳定性 173

3.例子 173

4.Bendixson 定理 175

5.C1类系统.环的特征指数 177

6.解析系统的环 182

7.右端为多项式的系统的极限环 186

8.无平面环的区域 187

9.平面自治系统的周期解.极限环的存在性 188

10.(极限)环的唯一性 189

3.孤立奇点 189

1.孤立奇点的分类.第一类奇点(中心-焦点).中心 189

2.第二类奇点的邻域 191

3.焦点 193

4.例外方向 193

5.正规扇形域 195

4.指标 200

1.Kronecker 指标 200

2.点的指标 205

3.特殊奇点的指标的计算 206

4.球面和亏格为 p 的曲面的指标 208

5.相空间是柱面的情形 209

1.相空间是柱面的情形 209

2.一个例子 211

6.相空间为环面的情形 212

1.相空间为环面的情形 212

2.例子 213

3.环面上无奇点的系统 214

4.其它结果 216

7.动力系统的简单介绍 216

参考文献 220

第五章 具有扰动项的平面自治系统 224

1.齐次扰动系统 224

1.一般问题 224

2.N(θ)≠0的情形 226

3.趋于 O 的轨线.例外方向 229

4.正规扇形域的不变性.第一类正规扇形域 231

5.第二类正规扇形域.第一判定问题 232

6.第三类正规扇形域.第二判定问题 237

7.N(θ)恒等于零的情形 240

8.一些说明 241

2.C1类系统的孤立奇点.初等奇点 241

1.引言 241

2.焦点与弱焦点 242

3.吸引点.星形结点 243

4.单切结点 245

5.双切结点 246

6.鞍点 248

7.注 249

3.H.Weyl 对双切结点和鞍点的渐近性研究 250

1.问题的叙述.记号 250

2.结点情形(0<l<k).H.Weyl 第一定理 252

3.关于|e?y(t)-b|，|x(t)-x0e-?|的上界 258

4.x(r)=Cr?的情形.关于|y(t)-be?|，|x(t)|的上界 259

5.k≥l，k＞0的情形.H.Weyl 第二定理 261

6.参数化系统 265

7.双切结点情形.H.Weyl 第三定理 267

8.鞍点情形(l＜0＜k).H.Weyl 第四定理 271

4.C1类系统的孤立奇点.非初等奇点 272

1.引言 272

2.对于系统?=x+f(x，y)，?=g(x，y)的 K.A.Keil 第一定理 273

3.关于等倾线的引理 276

4.关于系统?=x+f(x，y)，?=g(x，y)的 K.A.Keil 第二定理与第三定理 279

5.K.A.Keil 对于系统?=y+f(x，y)，?=g(x，y)的进一步结果 284

6.1，2，4节的文献注记 286

5.结构稳定系统.含参数的系统 286

1.结构稳定系统 286

2.结构不稳定系统.极限环的产生 288

3.含参数系统的极限环 290

参考文献 292

第六章 某些具单自由度的自治系统 295

1.在粘性阻尼作用下，质点的线性运动方程的轨线 295

1.在粘性阻尼作用下质点的线性运动方程的轨线 295

2.方程 ?+α?+sinθ-β=0，α≥0，β≥0 296

1.引言 296

2.β＞1的情形.(6.2.3)的周期解 z=？(θ)的存在性 297

3.0＜β＜1的情形.奇点的分类 299

4.极限情形 α=0时的轨线 301

5.α＞0，0＜β＜1的情形.(6.2.3)的周期解和临界值α(θ0) 303

6.θ0=π/2(β=1)的情形 309

7.0＜θ0＜π/2(α＞0，0＜β＜1)时的轨线 311

8.关于临界值 α(θ0)的不等式 317

9.M.Urabe 计算 α(θ0)的方法 321

3.张弛振荡的 Van der Pol 方程和 Liénard 方程 322

1.预备知识 322

2.Liénard 方程周期解的存在性 324

3.Liénard 方程周期解的唯一性的充分条件 326

4.Liénard 方程的周期解不唯一的情形 328

5.f(x)有第一类间断点时，Liénard 方程周期解的存在定理 330

6.Liénard 方程的比较定理 332

7.周期的计算 333

8.van der Pol 方程.轨线在无穷远处的性态 335

9.当参数趋近于无穷时，van der Pol 方程的极限环的性态.D.A.Flander 和 J.J.Stoker 定理 337

10.含有大参数的 van der Pol 方程的周期解的周期与振幅的渐近估值 339

11.R.Gomory 和 D.E.Richmond 关于极限环的不等式 339

4.广义 Liénard 方程的周期解 342

1.A.F.Filippov 的第一个定理 342

2.A.F.Filippov 的第一个定理 350

3.唯一性定理 350

4.对方程?+f(x，?)?+g(x)=0的研究 351

5.方程?+f(x)?+g(x)=0在不作 xg(x)＞0(|x|＞0)的假定时的周期解 355

1.引言 355

2.奇点 356

3.环及其性质 357

4.一种不存在周期解的情形 360

5.环的存在性 361

6.环的唯一性的一个准则 362

6.衰减振动方程 A?+f(?)?+Cx=0 362

1.引言 362

2.原点为稳定点的条件 363

3.G.Malgarini 的一个定理 364

7.一个关于绳索动力学与空气动力学的方程 365

1.奇点 365

2.系统(6.7.2)所确定的方向场 366

3.当参数 p 充分小时，周期解的存在性 369

补充 371

参考文献 376

第七章 具单个自由度的非自治系统 382

1.强迫振荡问题.线性情形 382

1.调和情形的强迫振荡 382

2.非调和情形的强迫振荡 384

3.强迫振荡问题 386

2.L.E.J.Brouwer 不动点定理，M.L.Cartwright J.E.Littlewood 定理及 J.L.Massera 定理 386

1.Brouwer 不动点定理 386

2.用 Brouwer 定理证明周期解的存在性 389

3.M.L.Cartwright-J.E.Littlewood 定理 390

4.J.L.Massera 定理 391

3.T.Yoshizawa 定理 394

1.最终有界性准则 394

2.周期解存在定理 401

3.解的稳定性 401

4.关于周期解的唯一性与稳定性的一个定理 407

5.个别解的有界性准则 408

6.由 Massera 定理推导周期解的存在性的一个准则.Mizo-hata 和 Yamaguti 定理 411

4.方程?=F(x，cosωt)的异相调和解.F.John 定理 412

1.解在整个(-∞，+∞)上存在的问题 412

2.关于异相调和解存在的 F.John 定理 417

5.方程式?+f(x)?+g(x)=p(t) 422

1.S.Lefschetz，N.Levinson，M.L.Cartwright 和 J.E.Littlewood 等人的结果 422

2.N.Levinson 的一条存在性定理和一条关于渐近稳定性的定理 424

3.方程?+g(x)=p(t)，p(t)为偶函数.G.R.Morris 定理 428

4.奇周期调和解.关于具强迫项的 Duffing 方程的 W.S.Loud 定理 429

5.关于方程式?+f(x)?+λ2x=Fsinωt(λ＞0，ω＞0，F＞0)的周期解的 D.Graffi 不等式 430

6.方程式?+F(?)+x=p(t) 432

1.R.Caccioppoli，A.Ghizzetti 和 A.Ascari 关于周期解的存在性、唯一性与稳定性的准则 432

2.关于绳索力学的一个微分方程.J.Cecconi 和 F.stop-pelli 的结果 435

7.关于方程式?+kf(x)?+g(x)=kp(t)和?+kf(?)+g(x)=kp(t)的 G.E.H.Reuter 定理 437

1.方程?+kf(x)?+g(x)=kp(t) 437

2.方程?+kF(?)+g(x)=kp(t) 441

8.方程?+f(x，?)?+g(x)=p(t) 442

1.H.A.Antosiewicz 关于解的正向有界性的准则 442

2.N.Levinson 和 C.E.Langenhop 关于周期解的存在性的准则 443

9.具有次调和解的非线性系统 447

1.次调和解 447

2.D 类系统 448

3.D 类系统的变换的不动点的分类 449

4.N.Levinson 和 J.L.Massera 关于次调和解的个数的定理 451

10.关于周期解的一般讨论 452

1.自治系统 452

2.周期的非自治系统 453

补充 454

参考文献 460

第八章 线性系统 466

1.伴随系统.T.Wazewski 不等式 466

1.伴随系统 466

2.Wazewski 不等式 467

2.常系数线性自治系统 469

1.标准基本解矩阵 469

2.齐次系统解的形式.特征指数.型数 470

3.实系统的奇点 472

4.n=3的(实)情形 474

3.线性周期系统 477

1.标准基本解矩阵.Floquet 定理和 Lyapunov 定理 477

2.特征指数.型数 478

4.可约系统 481

1.可约系统.特征指数和型数 481

5.函数的型数.t-相似关系 482

1.函数的型数 482

2.t-相似关系(或运动相似) 483

3.非零解的型数 484

4.正规解组.数S? 485

5.关于 S?的不等式.非正则常数 487

6.正则系统 488

1.正则系统 488

2.Perron 定理 490

3.三角形矩阵 490

7.周期解 491

1.线性齐次系统 491

2.线性非齐次系统 492

3.拟线性周期系统调和解的存在性 495

补充 498

参考文献 499

第九章 稳定性 502

1.V 函数方法 502

1.引言 502

2.V 函数 503

3.T.Wazewski 引理 505

4.稳定性的充分条件 506

5.稳定的必要条件.逆问题 508

6.渐近稳定性 509

7.全局渐近稳定性 511

8.其它类型的稳定性 512

9.不稳定性 513

10.用 V 函数研究有界性 514

2.线性系统的稳定性 516

1.稳定的和不稳定的线性系统 516

2.一致稳定的线性系统 518

3.一致稳定性与 t∞-相似 519

4.一致稳定性的准则 521

5.与零可约的线性系统和限制稳定性 523

6.线性系统的渐近稳定性 527

7.常系数线性系统的 V 函数 530

3.按一次近似判定稳定性 530

1.引言 530

2.按线性一次近似决定稳定性 532

3.几个推广与注释.L(v，N)性质 535

4.渐近稳定性.非线性一次近似的情形 537

5.解析系统.临界情形 538

6.轨道(渐近)稳定性.积分流形近傍的解的性态 539

4.渐近等价性 542

1.渐近等价性 542

2.H.Weyl 定理 542

3.关于渐近等价性的其它结果 547

补充与问题 548

参考文献 552