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第1章 常微分方程初值问题 3

1.1 基本概念 Euler法与梯形法 3

第一部分 常微分方程的数值解法 3

1.1.1 Euler法 4

1.1.2 梯形法 8

1.2 Runge-Kutta方法及一般单步方法 9

1.2.1 RK方法的构造 10

1.2.2 单步方法的相容性与收敛性 16

1.2.3 单步方法整体截断误差渐近展开及其应用 19

1.3.1 线性多步方法的构造 22

1.3 线性多步方法 22

1.3.2 线性多步方法的应用 27

1.4 线性差分方程的基本知识 29

1.4.1 一般性质 29

1.4.2 常系数齐次差分方程的基本解组 30

1.4.3 常系数差分方程解的渐近性质 33

1.5 一般多步方法的收敛性 34

1.5.1 多步方法的收敛性 34

1.5.2 线性多步方法情形的进一步结果 39

1.6.1 线性多步方法的绝对稳定性 42

1.6 数值稳定性 42

1.6.2 绝对稳定区间的确定 46

1.6.3 Runge-Kutta方法的绝对稳定性 48

1.7 一阶方程组与刚性问题 49

1.7.1 一阶方程组 49

1.7.2 刚性问题 51

本章小结与补充讨论 55

习题 55

2.1 两点边值问题的差分格式 61

第2章 椭圆型方程 61

第二部分 偏微分方程的差分方法 61

2.1.1 用差商代替导数的方法 62

2.1.2 积分插值法 65

2.1.3 边界条件的处理 66

2.2 二阶椭圆型方程边值问题的差分格式 67

2.2.1 区域的矩形网格剖分 68

2.2.2 矩形区域上的差分格式 69

2.2.3 矩形区域上边界条件的处理 72

2.2.4 非矩形区域上的差分格式与边界条件的处理 73

2.3.1 偏微分方程的积分形式 75

2.3 用积分插值法构造差分格式 75

2.3.2 用积分插值法构造内点的差分格式 76

2.3.3 用积分插值法构造边界点的差分格式 78

2.4 极值原理与差分格式的收敛性 80

2.4.1 线性椭圆型差分方程的一般形式 80

2.4.2 极值原理及差分格式之解的先验估计 81

2.4.3 五点格式的稳定性与收敛性 85

2.5 能量估计与差分格式的收敛性 87

2.5.1 记号，若干差分公式与不等式 87

2.5.2 差分算子的特征值与特征函数 90

2.5.3 两点边值问题差分格式之解的先验估计与收敛性 94

2.5.4 二阶椭圆型方程边值问题差分格式之解的先验估计及收敛性 97

本章小结与补充讨论 100

习题 101

第3章 离散方程的数值解法 103

3.1 交替方向迭代法 104

3.1.1 模型问题 104

3.1.2 Peaceman-Rachford迭代格式 106

3.1.3 PR迭代格式中迭代参数的选择 108

3.1.4 其他交替方向迭代格式 111

3.2.1 共轭梯度法的主要步骤与性质 113

3.2 预处理共轭梯度法 113

3.2.2 预处理共轭梯度法的步骤及预优矩阵的构造 114

3.3 多重网格法 119

3.3.1 一维模型问题与古典迭代的光滑效应 119

3.3.2 二重网格法 121

3.3.3 多重网格法 127

本章小结与补充讨论 128

习题 129

第4章 抛物型方程 130

4.1 一维抛物型方程初边值问题的差分格式 131

4.1.1 常系数热传导方程的古典格式 132

4.1.2 变系数方程的差分格式 137

4.2 差分格式的稳定性与收敛性 138

4.2.1 差分格式的稳定性 138

4.2.2 差分格式的相容性与收敛性 144

4.3 稳定性研究中的矩阵方法 146

4.3.1 矩阵方法的一般讨论 147

4.3.2 常系数热传导方程古典格式的稳定性 149

4.4 稳定性研究中的分离变量法 153

4.4.1 分离变量法的一般讨论 153

4.4.2 对多个空间变量情形的应用 157

4.4.3 对三层格式的应用 160

4.5 差分格式的单侧逼近性质及其应用 165

4.6 交替方向隐格式及相关的格式 170

4.6.1 PR格式 170

4.6.2 Douglas格式 172

4.6.3 非齐次边界条件情形下过渡层边值的取法 175

4.6.4 局部一维格式与预测-校正格式 176

本章小结与补充讨论 179

习题 180

第5章 双曲型方程 183

5.1 一阶线性双曲型方程的差分格式 184

5.1.1 一阶常系数方程初值问题 184

5.1.2 一阶常系数方程初边值问题 192

5.1.3 一阶变系数方程的差分格式 194

5.2 一阶常系数线性双曲型方程组的差分格式 195

5.3 二阶线性双曲型方程的差分格式 198

5.3.1 一维常系数波动方程 198

5.3.2 一维变系数波动方程 204

5.3.3 二维波动方程 206

5.4 交替方向隐格式 208

习题 213

本章小结与补充讨论 213

第三部分 偏微分方程的有限元方法 217

第6章 边值问题的变分原理与广义解 217

6.1 古典变分法的一些概念 217

6.1.1 泛函的极值与Euler方程 217

6.1.2 自然边界条件 224

6.1.3 多个自变量的情形 225

6.1.4 自然边界条件（续） 229

6.2.1 边值问题与最小位能原理 231

6.2 边值问题的变分原理 231

6.2.2 虚功原理 234

6.2.3 边值问题与变分问题的关系 235

6.2.4 内边界条件 236

6.3 Sobolev空间与边值问题的广义解 238

6.3.1 广义导数 239

6.3.2 Sobolev空间和边值问题的广义解 244

6.3.3 广义解的存在性和唯一性 247

6.4 变分近似法 254

6.4.1 Ritz方法 254

6.4.2 Galerkin方法 256

6.4.3 投影定理 257

本章小结与补充讨论 260

习题 260

第7章 有限元方法的基本过程 263

7.1 两点边值问题的有限元方法 263

7.1.1 用Ritz方法建立有限元方程 265

7.1.2 用Galerkin方法建立有限元方程 271

7.2 二维边值问题的有限元方法 276

7.2.1 三角剖分与分片插值 277

7.2.2 单元分析与总体合成 281

7.2.3 积分的计算 288

7.2.4 本质边界条件的处理 292

7.2.5 有限元方程的求解 295

7.2.6 有限元方法的一般过程 296

本章小结与补充讨论 298

习题 298

第8章 有限元方法的几个问题 300

8.1 形状函数与有限元空间 300

8.1.1 引言 300

8.1.2 一维高次元的形状函数 303

8.1.3 一维Hermite型的形状函数 309

8.1.4 二维矩形单元的形状函数 312

8.1.5 二维三角形单元的形状函数 318

8.1.6 等参数单元 324

8.1.7 三维情形 329

8.1.8 单元形状函数小结 333

8.2 收敛性与误差估计 334

8.2.1 引言 334

8.2.2 Sobolev空间中的插值理论 335

8.2.3 有限元方法的收敛性与误差估计 344

8.3 抛物型方程的有限元方法 349

8.3.1 引言 349

8.3.2 线性抛物型方程的广义解 351

8.3.3 半离散的有限元方程 353

8.3.4 全离散的有限元方程 355

本章小结与补充讨论 356

习题 357

部分习题答案及提示 359

参考文献 366

附录 368