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第一章 变换与仿射几何 1

1变换 1

2仿射变换的定义和性质 3

3仿射变换基本定理 7

4仿射变换的代数表示 11

4.1仿射坐标系 11

4.2仿射变换的代数表示 12

4.3仿射变换的解析特征 14

5正交变换和相似变换 16

5.1正交变换（等距变换） 16

5.2相似变换 20

6图形的仿射性质，图形间的仿射等价 21

6.1图形的仿射性质 21

6.2图形间的仿射等价 23

6.3仿射变换在初等几何中的应用举例 26

7变换群和几何学 29

7.1变换群的概念 29

7.2变换群的几何学 30

习题一 34

第二章 射影平面 36

1中心射影和无穷远元素 36

1.1中心射影 36

1.2无穷远元素 37

1.3扩大平面上点的齐次仿射坐标 38

1.4扩大平面上的仿射标架 42

2射影平面 43

3平面射影坐标系 49

3.1点的射影坐标 49

3.2直线方程和直线坐标 52

3.3齐次射影坐标的运算 55

3.4射影坐标变换 57

3.5扩大平面上仿射坐标与射影坐标的关系 60

4平面对偶原理 61

4.1平面射影几何对偶原理 61

4.2对偶图形，三点形和完全四点形 63

4.3代沙格定理 65

5交比 69

5.1射影平面上四元素交比的定义和性质 70

5.2完全四点形的调和性质 75

习题二 78

第三章 射影变换 82

1一维射影对应 82

1.1一维透视对应 82

1.2一维射影对应 83

1.3一维射影映射成为透视的条件 86

2直射 88

2.1直射的定义和性质 88

2.2直射的代数表示 90

2.3直射的基本不变性 96

3对射与配极 97

3.1对射 97

3.2配极 98

3.3极线方程，配极原则 99

习题三 101

第四章 二次曲线的射影理论 103

1配极和二次曲线 103

11二阶曲线和二级曲线 103

1.2非退化二阶曲线和二级曲线 104

1.3直线与非退化二阶曲线的位置关系，切线 105

1.4配极共轭与调和共轭 109

1.5退化二阶曲线的奇异点 112

2二阶曲线的射影分类 113

3二次曲线的射影定义 118

3.1非退化二次曲线的射影定义 119

3.2巴斯加定理和布利安香定理 124

3.3二次曲线的射影定义 129

习题四 131

第五章 射影几何在初等几何中的应用 134

1关于射影概念的初等几何意义 134

1.1交比的初等几何意义 134

1.2调和点组与中点，调和线组与角平分线 136

1.3关于圆的配极 137

2初等几何命题的射影证明 139

2.1共线点和共点线问题 139

2.2直尺作图 141

2.3共线线段的比 143

2.4中点和角平分线问题 144

3射影方法与初等方法 146

4初等几何命题的发现 150

5配极在解析几何中的应用 154

习题五 157

第六章 实射影几何的子几何 160

1仿射几何作为射影几何的子几何 160

2二阶曲线的仿射性质 163

2.1二阶曲线的仿射类型 163

2.2中心，直径，渐近线 167

3相似几何与欧氏几何作为射影几何的子几何 173

3.1复射影平面 174

3.2实射影平面与复射影平面的关系 174

3.3相似变换群的绝对形，圆点和迷向直线 177

3.4拉格尔定理 180

4长圆曲线的度量性质 182

4.1主轴 182

4.2焦点与准线 183

习题六 187

第七章 度量几何 188

1欧氏、伽氏和闵氏向量空间 188

2伽里略几何和闵可夫斯基几何 191

2.1二维闵可夫斯基向量空间 192

2.2平面闵可夫斯基几何简介 196

2.3平面伽里略几何简介 199

3椭圆几何 202

3.1椭圆平面上的度量 202

3.2椭圆几何 207

4双曲几何 209

4.1三维闵可夫斯基向量空间，双曲平面 209

4.2双曲平面上的度量，射影测度 212

4.3 双曲几何简介 216

5九种平面几何 220

6黎曼流形 222

习题七 226

第八章 几何基础简介 228

1公理法大意 228

1.1公理法 228

1.2公理系统的相容性、独立性和完备性 231

2仿射几何的公理系统 232

2.1 n维仿射几何的公理系统 232

2.2仿射空间与向量空间 234

2.3 n维欧氏几何的公理系统 235

3欧氏几何的希尔伯特公理系统 236

3.1结合公理及其推论 237

3.2顺序公理及其推论 239

3.3合同公理 243

3.4连续公理和平行公理 244

3.5欧几里得第五公设问题与非欧几何 247

4射影几何的公理系统 248

习题八 253

附录 n维射影空间 254