高等数学解题常见错误剖析PDF电子书下载

第一章 函数与极限 1

问题1.1 如何迅速判明一个函数不是周期函数？ 1

问题1.2 函数复合时应注意其定义域. 2

问题1.3 分段函数复合时常见错误之一. 2

问题1.4 如何正确理解数列极限？的含义. 3

问题1.5 用定义证明极限时，须注意如何选取δ. 4

问题1.6 函数在一点的极限存在与否，与函数在该点是否有定义无关. 4

问题1.7 求某些函数的极限时应注意研究左极限与右极限. 5

问题1.8 如何求分母极限为零的两函数之商的极限. 6

问题1.9 使用“函数乘积的极限等于各函数极限的乘积”这一法则时，要求各函数的极限必须存在. 7

问题1.10 “和的极限等于极限的和”仅对有限项的和成立. 8

问题1.11 极限式中若含有参数，要对参数取值进行讨论. 9

问题1.12 对“∞-∞”型极限不能直接使用差的极限法则. 10

问题1.13 “1∞”型极限的结果一定是1吗？ 10

问题1.14 求极限？时，要注意在自变量x的变化过程中f(x)是否趋于零，若是，才有？ 12

问题1.15 对于由递推关系式给出的数列？，必须先证明极限？，存在，然后才可以求极限. 13

问题1.16 利用等价无穷小代换方法求极限时应注意哪些问题？ 14

问题1.17 无穷小作比较时分母不能等于零. 16

问题1.18 求复合函数的极限？时，当？不存在且不是∞时，？有可能存在. 17

问题1.19 对无穷小进行比较时常见的几个错误. 18

问题1.20 注意，间断点类型是用左、右极限定义的. 20

问题1.21 函数间断的几种特殊情况. 22

问题1.22 如何讨论分段函数在分界点处的连续性？ 23

问题1.23 如何讨论分段函数的连续性？ 24

问题1.24 利用函数的连续性确定参数值时易犯的错误. 25

问题1.25 利用零点定理证明方程根的存在性时应注意的几个问题. 27

问题1.26 连续函数的某些性质只在“闭”区间上成立. 27

第二章 导数与微分 30

问题2.1 如何正确理解极限式？的含义？ 30

附录2.2 对抽象函数求导时应注意题设条件. 31

问题2.3 用公式法求得f′(x)的表达式后，若f′(x)在x0处间断，是否可说明函数f(x)在x0处不可导？ 32

问题2.4 如何求分段函数的导数？ 33

问题2.6 初学者求导数时常犯的几个错误. 36

问题2.5 等式y′(0)=［y(0)］′成立吗？ 36

问题2.7 两条曲线相切应满足什么条件？ 39

问题2.8 如何求幂指函数？的导数？ 40

问题2.9 求函数？的导数时常见的错误. 41

问题2.10 如何求函数关系未具体给出的抽象复合函数的二阶导数？ 42

问题2.11 求由一个方程所确定的隐函数的二阶导数时常见的错误. 43

问题2.12 求由参数方程所确定的函数的二阶导数时常犯的错误. 44

问题3.1 可否对分子、分母中的两个函数分别使用拉格朗日中值公式，然后相除，得到柯西中值公式的结论？ 46

第三章 中值定理与导数的应用 46

问题3.2 导函数之比的极限不存在时，不能使用洛必达法则. 49

问题3.3 使用洛必达法则求极限时常见的几个错误. 49

问题3.4 求数列极限不能直接使用洛必达法则. 53

问题3.5 对含有抽象函数的极限使用洛必达法则时一定要注意题设条件. 54

问题3.6 O(0，0)点为什么不是曲线？的拐点？ 56

第四章 不定积分 58

问题4.1 如何求分段函数的原函数？ 58

问题4.2 如何求分段函数的不定积分？ 59

问题4.3 初学不定积分的学生易犯的几个错误. 61

问题4.4 求不定积分？常见的错误之一. 63

问题4.5 求解不定积分的几何应用问题时，要注意被积函数的定义域. 64

问题4.6 不定积分不能像初等函数一样进行运算. 66

第五章 定积分 68

问题5.1 在定积分定义中，只要n→∞，必有λ→0，结论是否成立？ 68

问题5.2 定积分的值与积分变量、积分区间、被积函数三者的关系问题. 68

问题5.3 当积分限为x函数时，怎样求积分上限(下限)函数？的导数？ 70

问题5.4 利用牛顿-莱布尼茨公式进行定积分计算时应注意的一个问题. 72

问题5.5 求分段函数的定积分时，怎样寻找分段函数的原函数？ 73

问题5.6 用换元积分法计算定积分时应注意的几个问题. 75

问题5.7 计算被积函数为分段函数或绝对值函数的定积分时应注意的几个问题. 76

问题5.8 怎样求被积函数为分段函数的积分上限函数的表达式？ 79

问题5.9 怎样运用(广义)积分中值定理？ 80

问题5.10 对称区间上奇(偶)函数的积分性质对广义积分还成立吗？ 83

问题5.11 怎样求含参变量的广义积分？ 84

问题5.12 怎样利用对称区间上定积分的特点计算定积分？ 87

问题5.13 利用分部积分法计算定积分的一个错误. 88

问题5.14 原函数与奇(偶)函数的关系问题. 89

问题5.15 利用洛必达法则，求含积分上限函数的极限时应注意什么？ 90

问题5.16 怎样借助于几何直观证明不等式？ 93

问题5.17 在区间［a,b］上连续的函数积分值为零与该函数恒为零等价吗？ 95

问题5.18 定积分中的被积函数与积分区间的关系问题. 96

问题5.19 计算无界函数的广义积分时应注意什么？ 97

第六章 定积分应用 99

问题6.1 求边界曲线用极坐标方程表达的平面图形的面积应注意的问题. 99

问题6.2 运用元素法来解决可化为定积分的实际问题时应注意什么？ 100

问题6.3 怎样计算将物体从水中取出所作的功？ 103

第七章 空间解析几何与向量代数 105

问题7.1 向量运算中的一些常见错误. 105

问题7.2 方向相同的向量还有哪些特征？ 106

问题7.3 怎样求立体在坐标面上的投影区域？ 107

问题7.4 利用平面束方程能表达通过某直线的所有平面吗？ 108

问题7.5 怎样求两空间直线的距离？ 109

问题7.6 怎样求两直线的交点？ 111

问题8.1 讨论多元函数极限时应注意的问题. 114

第八章 多元函数微分法 114

问题8.2 利用极坐标变换？求极限？时，r→0与(x,y)→(0，0)等价吗？ 115

问题8.3 求复合函数偏导数时的几个常见错误. 116

问题8.4 求抽象函数的二阶偏导数时易犯的错误. 117

问题8.5 怎样正确理解与使用多元复合函数偏导数符号？ 119

问题8.6 求曲面与某平面平行的切平面及切点时应注意哪些问题？ 122

问题8.7 求函数的方向导数时应注意哪些问题？ 123

问题8.8 在条件极值问题中怎样构造拉格朗日函数？ 125

第九章 重积分 128

问题9.1 如何利用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性简化二重积分的计算？ 128

问题9.2 确定积分次序的原则是什么？ 132

问题9.3 直角坐标系下化二重积分为二次积分时，确定积分限的原则是什么？ 134

问题9.4 被积函数中含有绝对值符号时，如何积分？ 136

问题9.5 如何将二重积分化为极坐标系下的二次积分？什么样的二重积分用极坐标计算更方便些？ 138

问题9.6 将三重积分化为球面坐标系下的三次积分时，应注意什么？ 139

问题9.7 怎样正确利用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性简化三重积分？ 141

问题9.8 在讨论抽象函数的重积分时应注意的问题. 143

问题9.9 二次积分是否一定可以交换积分次序且相等？ 145

第十章 曲线积分与曲面积分 147

问题10.1 对弧长的曲线积分应如何确定积分限？ 147

问题10.2 使用格林公式时应注意的问题1. 148

问题10.3 使用格林公式时应注意的问题2. 149

问题10.4 圆弧上的曲线积分与圆域上极坐标下的二重积分有何区别？ 151

问题10.5 对坐标的曲线积分计算中几个常见错误. 151

问题10.6 ？的区别何在？ 153

问题10.7 曲面积分与三重积分的区别. 154

问题10.8 对坐标的曲面积分计算中几个常见错误. 155

问题10.9 对面积的曲面积分在投影时应注意哪些问题？ 157

问题10.10 使用高斯公式时应注意哪些问题？ 158

问题10.11 使用斯托克斯公式时如何选择曲面？ 160

第十一章 无穷级数 163

问题11.1 什么样的无穷级数可以求和？ 163

问题11.2 怎样正确使用级数收敛的必要条件？ 163

问题11.3 比值审敛法的逆命题成立吗？ 164

问题11.4 比较审敛法适用于哪些级数？ 165

问题11.5 使用比较审敛法应注意哪些问题？ 167

问题11.6 判定交错级数敛散性的莱布尼茨定理的条件只是充分条件吗？ 168

问题11.7 判定任意项级数的敛散性时应注意哪些问题？ 169

问题11.8 对于任意项级数？，若用比值(根植)审敛法计算？，对ρ的不同值，关于？的敛散性可得出何结论？ 171

问题11.9 幂级数的收敛半径应唯一. 172

问题11.10 求级数的收敛半径时应注意哪些问题？ 173

问题11.11 幂级数的各项？中幂指数均应是自然数. 174

问题11.12 几何级数求和时应注意哪些问题？ 175

问题11.13 求幂级数的和函数时应注意哪些问题？ 177

第十二章 微分方程 180

问题12.1 求微分方程的通解时如何添加任意常数？ 180

问题12.2 微分方程的通解是否包含所有解？解方程时有无漏解的可能？ 181

问题12.3 可化为一阶非齐次线性方程的方程问题. 182

问题12.4 求解全微分方程时应注意哪些问题？ 183

问题12.5 求解形为f(y,y′，y″)=0的可降阶微分方程时应注意哪些问题？ 184

问题12.6 求解二阶常系数非齐次线性微分方程的初值问题时应注意哪些问题？ 185

问题12.7 化积分方程为微分方程时要注意哪些问题？ 187