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前言 1

第一章 历史概述 1

1.1 欧几里得几何 1

1.1.1 《几何原本》的学术背景 1

1.1.2 几何学--古希腊数学的主体 3

1.1.3 演绎证明的范本 4

1.2 皮亚诺自然数理论 6

1.2.1 分析数学--数学的新阶段 6

1.2.2 分析数学的基础危机 8

1.2.3 分析算术化 9

1.2.4 分析数学中的无限 12

1.2附1 几何学自身的重大变革 15

1.2附2 虚数是怎样进入数学的？ 19

1.2附3 皮亚诺算术的适当展开 21

1.3 ZFC集论 27

1.3.1 康托尔集论与集论诞生时期的风暴 27

1.3.1附 康托尔辩词录：数学的自由与制约 30

1.3.2 集论悖论与基础危机 30

1.3.3 数学可否归为逻辑？ 32

1.3.4 直觉主义简介 33

1.3.5 希尔伯特规划与哥德尔不完备性定理 35

1.3.6 ZFC集论脱颖而出 38

1.4 本章小结 39

第二章 逻辑准备 41

2.1 命题演算初步 41

2.1.1 命题连接词 41

2.1.2 真值表与永真式 44

2.1.3 真值方程组，应用举例 46

2.1.4 命题连接词的完全组 50

2.2 谓词演算简介 52

2.2.1 谓词演算语言 52

2.2.2 什么是数学证明？ 54

2.2.3 数学形式系统举例--形式算术 58

第三章 集论基本概念 60

3.1 ZF语言 60

3.2 外延公理与内涵公理 61

3.3 无序对公理 64

3.4 并集公理与幂集公理 66

3.5 关系与映射 69

3.5.1 Cartesian积集 69

3.5.2 关系 70

3.5.3 映射(函数) 72

3.5.3 附 单值化原则 75

3.6 无限公理 76

3.6.1 最小归纳集ω 76

3.6.2 归纳定义 82

3.6.3 鸽笼原理 86

第四章 什么是实数？ 88

4.1 等价关系与分类 88

4.1.1 等价关系 88

4.1.2 等价类 90

4.1.3 选代表原则与选择公理 92

4.2 N2的一个重要分类--什么是整数？ 93

4.2附 由哪些自然数性质推出了整数性质？ 99

4.3 重要练习一：Z×(Z-{0})的一个分类--什么是有理数？ 100

4.4.1 N上的滤子 104

4.4 N上超滤与N的一种扩张 104

4.4.2 N的一种扩张 107

4.4.3 小结 113

4.6 重要练习二：Q〈的一个分类 116

4.7 什么是实数？ 118

第五章 结构与模型 123

5.1 结构的概念与语言 123

5.2 同构与同态 124

5.3 理论与模型 126

5.3附 完备序域的(同构)惟一性 128

5.4 模型原理及应用例 129

5.4附 N的另一种构造 132

6.1 等势 139

第六章 势 139

6.2 不同大小的实无限 141

6.3 Cantor-Bernstein定理 142

6.4 关于可数集的结论 145

6.4附 可数集性质的另一常用表述 148

6.5 势的性质与选择公理 149

6.6 连续统假设 150

第七章 良序结构与超限归纳法 153

7.1 偏序 153

4.5 一种特殊的非Archimedes序域--从 N到 Q 155

7.2 全序 155

7.3 良序 157

7.3附 良序指标集 159

7.4 超限归纳法 160

7.5 关于结构<ω，∈>的练习 165

第八章 序数 167

8.1 序数的概念及一般性质 167

8.2 后继序数与极限序数 170

8.3 替换公理 172

8.4 关于序数的超限归纳法 175

8.4附 On上的递归定义 177

8.5 集的号码库-Hartogs数 179

8.6 正则公理 181

8.6附 集宇宙的形象 182

第九章 选择公理 186

9.1 选择公理的特殊性 186

9.2 良序原理 188

9.3 Zorn引理 191

9.4 选择公理的地位及应用例(滤子扩张原则) 194

第十章 基数 198

10.1 基数概念 198

10.2 基数算术 202

10.2附 序数与基数的加乘运算的关系 207

10.3 正则基数与奇异基数 208

10.4 基数计算例：ω上超滤空间有多大？ 212

第十一章 自然数--主算术超滤 215

11.1 再谈超滤 215

11.2 超滤空间βω中的简单等式 217

11.3 算术超滤 219

第十二章 结束语 223

练习题与思考题提示或解答 228

参考文献 252