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第一篇 平面解析几何 1

第一章 直线上的几何学 1

1 向量的概念 1

2 用数量来乘向量 4

3 在直线上的向量 7

4 直线上的坐标法 9

5 两点间的距离 10

6 分线段成给与的比 11

第二章 平面上坐标法 13

1 平面上的向量 13

2 在平面上的卡氏坐标及仿射坐标 16

3 分线段成给与的比 18

4 向量的数性积 19

5 两点间的距离 22

6 坐标变换 22

7 原点变换 23

8 坐标向量的变换 25

9 一般的坐标变换 28

第三章 点的几何轨迹的方程式 29

1 方程式的几何意义 29

2 圆的方程式 30

3 直线 32

4 椭圆 34

5 椭圆的典式 37

6 按照点作椭圆的图形 40

7 椭圆可视为圆的投影 42

8 变曲线 43

9 变曲线的典式 45

10 抛物线 47

11 按照点作抛物线的圆形 49

第四章 平面上关于曲线方程式的一般定理 50

1 只含一个流动坐标的方程式 50

2 二曲线的交点 52

3 坐标变换的不变式 53

4 平面上曲线的分类 56

5 曲线的阶的几何意义 57

6 左端能分解为因式的方程式 58

7 曲线束 59

8 极坐标系 61

第五章 一阶曲线 62

1 直线的法线方程式 62

2 将一般的直线方程式化为法线式 64

3 有角系数的直线方程式 66

4 直线方程式的截距式 68

5 直线方程式的研究 68

6 按照给与的方程式作直线的图形 69

7 点至直线的距离 71

8 二直线的交角 73

9 平行的条件 74

10 垂直的条件 75

11 按照给与的方向通过给与点的直线方程式 76

12 通过两点的直线方程式 77

13 三点在一直线上的条件 78

14 二直线的交点 79

第六章 在投射平面上的直线 80

1 齐次坐标 80

2 投射平面 81

3 广义平面的广义元素 83

4 直线方程式的研究 85

5 二直线的交点 87

6 通过两个给与点的直线方程式 88

7 直线束 90

8 解析点以及它们的运算法 93

9 在平面上的投射坐标 95

10 在广义平面上的投射坐标 99

1 二阶曲线的一般方程式 101

第七章 关于二阶曲线的一般知识 101

2 五点确定二阶曲线 102

3 二阶曲线与直线的交点·切线 103

4 二阶曲线与直线的交点·渐近线 105

5 二阶曲线的广义点 108

6 平面的虚点 110

第八章 二阶曲线的投射性质 113

1 直线上四点的复比 113

2 一线束的四条直线的复比 116

3 调和四点集 120

4 关于二阶曲线的点的极共轭性 122

5 极形式 124

6 极线 126

7 切线 127

8 外点和内点的极线 129

9 一对极共轭的直线 130

10 极对应的变态 132

11 判别式？的秩降低到单位时极对应的变态 135

12 在广义平面上二阶曲线的变态 136

第九章 二阶曲线的仿射性质 137

1 几何图形的投射仿射及度量的性质 137

2 二阶曲线的中心 139

3 不定中心的二阶曲线 142

4 二阶曲线的直径 142

5 共轭直径 144

6 k及？二指向有共轭性的条件 146

7 渐近线 148

8 按照一对给与的渐近线来作曲线 150

9 二阶曲线束 151

10 一对渐近线的方程式 155

第十章 二阶曲线的度量性质 157

1 主向 157

2 不定主向的曲线 158

3 特征方程式 159

4 特征方程式的根的不变性 161

5 二阶曲线的不变式 163

第十一章 二阶曲线的典式 165

1 自极三角形 165

2 投射坐标的二阶曲线的典式 167

3 在仿射坐标系里二阶曲线的典式 168

4 在卡氏坐标系里二阶曲线的典式 170

5 化二阶曲线方程式为典式 172

6 不同型的二阶曲线的不变性的特征 174

第十二章 二阶曲线的焦点性质 174

1 极共轭的直线束的正交互应 174

2 由焦点向曲线所作的虚切线 175

3 连系到焦点上去的二阶曲线方程式 176

5 二阶曲线焦点的个数 177

4 二阶曲线的离心率 177

6 有心二阶曲线的焦点 178

7 抛物线的焦点 179

第二篇 空间解析几何 181

第一章 空间的坐标方法 181

1 向量的坐标 181

2 仿射坐标系及卡氏(直角)坐标系 182

3 两向量间的角 184

4 两点间的距离 185

5 分一个线段成给与的比 186

6 三向量的坐向 186

7 向量积 188

8 分配性的定理 189

9 按照顶点的坐标来求三角形的面积 191

10 三个向量的数性积 192

11 四面体的体积 195

1 原点变换 196

第二章 坐标变换 196

2 坐标向量的变换 197

3 直角变换的行列式 198

4 爱拉角 199

5 仿射坐标变换的不变式 200

第三章 关于点的几何轨迹的方程式的一般定理 201

1 点的几何轨迹的方程式 201

2 球的方程式 203

3 两个坐标间的方程式 204

4 曲线的方程式 205

5 曲面的分类 206

6 曲面的变态 207

7 曲面束 208

8 曲面汇 209

第四章 欧氏空间的平面 210

1 通过给与的点而垂直于给与的向量的平面的方程式 210

2 平面的法线式 212

3 把一个平面的方程式导向法线形式 213

4 从平面到一点的距离 215

5 平面的截距方程式 217

6 按照方程式来作平面 217

7 两平面间的角 219

8 通过三个给与点的平面的方程式 221

第五章 欧氏空间的直线 222

1 直线的方程式 222

2 通过两点的直线 224

3 把直线的方程式组化做典式的形状 224

4 两直线间的角 227

5 直线及平面间的角 228

6 直线在平面上的条件 230

7 通过一点及一线的平面 231

8 两直线相交的条件 232

9 三向量的二重向量积 232

10 拉普拉斯定理 233

11 两交叉直线间的距离 234

12 从一点引向一直线的垂线 235

第六章 投射空间 236

1 一点的齐次坐标 236

2 投射空间 237

3 扩大的欧氏空间 237

4 三个平面的交点 240

5 四点同在一平面上的条件 242

6 解析点 243

7 投射坐标 245

8 在扩大空间内的投射坐标 246

9 投射坐标系的变换 247

10 锥面 248

11 平面的束及汇 249

12 复投射空间 250

1 空间的投射变换 253

第七章 空间的投射变换及仿射变换 253

2 投射变换的解析表达式 254

3 投射变换的群 255

4 投射几何 257

5 仿射变换的群 259

6 仿射几何 261

7 空间移位的群 262

第八章 投射空间内二阶曲面的一般性质 263

1 二阶曲面的一般方程式 263

2 曲面与直线的相交 263

3 曲面与平面的相交 264

4 曲面上椭圆的、双曲的及抛物的点 267

第九章 极点及极面的理论 270

1 一对极共轭的点 270

2 极形式 272

4 切面 273

3 极面 273

5 极对应的变态 274

6 判别式的秩等于二的时候极对应的变态 276

7 判别式的秩等于一的时候极对应的变态 276

第十章 自极四面角 277

1 平面及直线的极共轭性 277

2 Ⅰ类自极四面角 278

3 Ⅱ类自极四面角 279

4 Ⅲ类自极四面角 280

5 锥面的自极四面角 281

第十一章 投射空间内二阶曲面的典式 282

1 二阶曲面对于Ⅰ类自极四面角的方程式 282

2 投射空间二阶曲面方程式的典形 282

3 投射空间内二阶曲面的分类 284

4 形式的标数 285

5 曲面的外点及内点 286

6 变态曲面的分类 287

7 第二及第三次方的变态 288

8 投射坐标变换的相对不变式 288

第十二章 二阶曲面的仿射理论 291

1 二阶曲面的广义曲线 291

2 二阶曲面的分类 291

3 二阶曲面的中心 293

4 中心的坐标 294

5 不定中心的曲面 295

6 中心面 296

7 直径面 297

8 直径面的方程式及给与指向的共轭弦 297

9 二阶曲面的直径 298

10 共轭直径 299

11 两指向的共轭性的条件 300

12 三共轭直径组 300

1 在仿射几何内二阶有心曲面的典式 301

第十三章 在仿射空间内二阶曲面的典式 301

2 卡氏斜角坐标系内的二阶有心曲面 304

3 连系到Ⅱ类自极四面角上去的二阶曲面的方程式 306

4 仿射几何内抛物面的典式 307

5 在卡氏斜角坐标系内的抛物面方程式 309

6 在仿射几何内变态二阶曲面的分类 309

7 二阶曲面的平截痕 311

8 二阶曲面的平行的平截痕 313

9 渐近锥面 314

10 关于仿射坐标系变换的二阶曲面的不变式 315

11 直母线 316

第十四章 在欧氏空间内二阶曲面的典式 318

1 特征方程式 318

2 特征方程式的根的不变性 320

3 关于特征方程式有三个单根的情况下的存在定理 322

4 在特征方程式有两根相等的情况下的存在定理 325

5 特征方程式三根的相等 327

6 欧氏空间内二阶曲面的典式 328

7 卡氏直角坐标系变换的不变式 330

8 二阶曲面方程式的导向典式形状 332

9 曲面自身许可运动的曲面的不变式 334

10 二阶曲面的不变特征 336

第十五章 二阶曲面的平截痕 339

1 任意平面截二阶曲面所得的截痕 339

2 平行于主向的平面交椭圆面所得的截痕 339

3 单叶双曲面给平行于主面的平面所截得的截痕 341

4 两叶双曲面给平行于主面的平面所截得的截痕 343

5 有主向的平面交椭圆抛物面所得的截痕 344

6 有主向的平面交双曲抛物面所得的截痕 345

7 二阶曲面的圆截痕及环点 347

8 二阶有心曲面的圆截痕 349

9 椭圆抛物面的圆截痕 350