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第一篇 复变函数论 2

第一章 解析函数 2

一、基本要求 2

二、内容提要 2

(一) 复数及其运算 2

(二) 复变函数 5

(三) 微商及解析函数 7

(四) 初等解析函数 9

三、复习思考题 11

(一) 复变数关系式的几何性质 13

四、例题分析 13

(二) 复数及复变函数的运算 27

(三) 多值函数的性状 34

(四) 解析函数的性质及其应用 40

第二章 解析函数积分 52

一、基本要求 52

二、内容提要 52

(一) 复变函数的积分 52

(二) Cauchy定理 53

(三) Cauchy积分公式 55

三、复习思考题 56

(一) 沿非闭合曲线的积分 57

四、例题分析 57

(二) 沿闭围道的积分 58

(三) 估计积分之值 64

(四) 定积分 67

第三章 无穷级数 70

一、基本要求 70

二、内容提要 70

(一) 复数级数 70

(二) 幂级数 73

(三) Taylor级数 74

(四) Laurent级数 76

(五) 单值函数的孤立奇点 77

三、复习思考题 79

四、例题分析 81

(一) 确定幂级数的收敛半径 81

(二) 将函数f(z)展开为Taylor级数 83

(三) Taylor展开的若干应用 92

(四) 将函数f(z)展开为Laurent级数 94

(五) 判定奇点的类型 105

(二) Г函数 110

二、内容提要 110

(一) 解析延拓 110

一、基本要求 110

第四章 解析延拓，Г函数 110

三、复习思考题 111

四、例题分析 112

(一) 解析延拓 112

(二) Г函数 116

第五章 留数理论 120

一、基本要求 120

二、内容提要 120

(一) 留数定理 120

(二) 利用留数计算实积分 122

三、复习思考题 126

四、例题分析 127

(一) 计算留数 127

(二) 计算复变函数的围道积分 134

(三) 计算实定积分 138

复变函数模拟试题 167

模拟试题Ⅰ 167

模拟试题Ⅱ 168

模拟试题Ⅰ解答 169

模拟试题Ⅱ解答 174

(一) 基本概念 181

二、内容提要 181

第一章 定解问题 181

一、基本要求 181

第二篇 数学物理方程 181

(二) 数理方程的建立(导出) 182

(三) 定解条件 185

三、复习思考题 188

四、例题分析 188

(一) 建立(导出)数理方程 188

(二) 写出(或导出)定解条件、定解问题 199

(一) d Alembert公式 212

二、内容提要 212

一、基本要求 212

第二章 行波法 212

(二) 反射波 213

(三) Poisson公式 215

(四) 纯强迫振动 216

(五) 有源空间波 218

三、复习思考题 219

四、例题分析 222

(一) d Alembert公式和纯强迫振动解的应用 222

(二) 用行波法求解某些定解 228

(三) Poisson公式和推迟解的应用 257

(一) 分离变量法的精神和解题要领 271

二、内容提要 271

第三章 分离变量法 271

一、基本要求 271

(二) 非齐次方程的求解--本征函数展开法 274

(三) 非齐次边界条件的处理 277

(四) 正交曲线坐标系中的分离变量 279

(五) 本章常用到的常微分方程的公式 284

三、复习思考题 285

四、例题分析 287

(一) 齐次问题 288

(二) 带有齐次边界条件的非齐次方程问题 329

(三) 带有非齐次边界条件的问题 354

(四) 正交曲线坐标系中的分离变量 394

第四章 积分变换法 417

一、基本要求 417

二、内容提要 417

(一) 积分变换法 417

(二) Fourier变换 419

(三) Laplace变换 422

三、复习思考题 426

四、例题分析 428

(一) 函数的Fourier变换 428

(二) Fourier变换法 442

(三) Laplace变换及逆变换 460

(四) Laplace变换法 464

第五章 Green函数法 482

一、基本要求 482

二、内容提要 482

(一) δ函数 482

(二) Poisson方程的边值问题 484

(三) Green函数的一般求法 488

(四) 几个有用的公式 492

三、复习思考题 493

(一) δ函数及其在物理上的应用 495

四、例题分析 495

(二) Green函数的求法 506

(三) 用Green函数法求解Poisson方程的Dirichlet问题 526

(四) 用Green函数法求解其他的定解问题 534

第六章 变分法 539

一、基本要求 539

二、内容提要 539

(一) 泛函和泛函的极值 539

(二) 求解数理方程的变分法 542

四、例题分析 547

(一) 变分的概念和性质 547

三、复习思考题 547

(二) 求解变分问题 551

(三) 用变分法求解数理方程的边值问题 564

第三篇 特殊函数 578

第一章 Legendre多项式，球函数 578

一、基本要求 578

二、内容提要 578

(一) Legendre方程及Legendre多项式 579

(二) Legendre多项式的性质 581

(三) 缔合Legendre方程及缔合Legendre函数 582

(四) 球函数方程和球函数 584

三、复习思考题 586

四、例题分析 587

(一) Pι(χ)，Pmι(χ)和Yι，m(θ，φ)有关性质的应用 587

(二) 在球坐标系中Laplace方程的求解 598

(三) 二阶常微分方程在常点邻域的级数解法 616

第二章 Bessel函数，柱函数 620

一、基本要求 620

二、内容提要 620

(一) Bessel方程及柱函数 621

(二) Bessel函数的性质 624

(三) 虚宗量Bessel方程和虚宗量柱函数 625

(四) 球Bessel方程和球Bessel函数 626

三、复习思考题 628

四、例题分析 630

(一) Bessel函数有关性质的应用 630

(二) 在柱坐标系中Helmholtz方程和Laplace方程的求解 645

(三) 在球坐标系中Helmholtz方程的求解 661

(四) 二阶常微分方程在正则奇点领域的级数解法 667

二、内容提要 673

(一) Sturm-Liouville方程 673

一、基本要求 673

第三章 Sturm-Liouville本征值问题 673

(二) Sturm-Liouville本征值问题 674

(三) Sturm-Liouville本征值问题的一般性质 674

三、复习思考题 675

四、例题分析 676

(一) 将特殊函数微分方程化为Sturm-Liouville方程 676

(二) Sturm-Liouville问题本征函数的性质 677

数学物理方程和特殊函数模拟试题 686

模拟试题Ⅰ 686

模拟试题Ⅱ 690

模拟试题Ⅰ解答 691

模拟试题Ⅱ解答 696