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第一章 矢量、平行投影 1

Ⅰ．线段，轴，矢量 1

1．线段 1

2．轴 1

3．矢量 2

4．矢量的相等 3

5．矢量：自由矢量，滑动矢量，胶着矢量 3

Ⅱ．矢量的和，数量乘矢量的乘积 4

6．加法和乘法的运算 4

7．矢量的和 6

8．特款 8

9．矢量的差 10

10．数量乘矢量的积 10

11．与一已知方向平行的矢量，单位矢量 13

12．在轴上的矢量 14

Ⅲ．轴上投影和面上投影 15

13．轴上的投影 15

13a．在同一平面上的图形的投影 17

14．平面上的投影 18

15．矢量的和与差在轴上的投影 19

16．矢量的和与差在平面上的投影 20

17．数量乘矢量的积的投影 21

Ⅳ．直角投影的计算公式 21

18．两方向间的角 21

19．矢量在轴上的直角投影的计算公式 22

19a．推广 23

20．矢量投到平面上的直角投影的长 24

21．平面图形在另一平面上的投影的面积 25

Ⅴ．两个矢量的数积与矢积 27

22．两个矢量的数积 27

23．用数积来表示矢量的直角投影 30

24．三个方向的右手系和左手系 30

25．两个矢量的矢积 31

26．三个矢量的混合积 34

第二章 矢量的坐标，点的坐标 37

Ⅰ．笛氏坐标 37

27．在直线（或轴）上的坐标 37

28．矢量和点在平面上的坐标 39

29．平面上的直角坐标 42

30．矢量和点在空间的坐标 43

31．空间的直角坐标 46

32．按给定方向来分解矢量 47

33．笛氏坐标的推广 48

Ⅱ．表示仿射性质的基本公式 51

34．已知矢量的和的坐标 51

35．用已知的起点和终点来决定矢量 52

36．以数量乘矢量的乘积的坐标 53

37．两个矢量平行的条件 55

37a．两个矢量平行的条件（补充） 56

38．三点共线的条件 57

39．三个矢量共面的条件 58

40．四点共面的条件 61

41．线段的定比分割 61

Ⅲ．用直角坐标表示度量性质的基本公式 64

42．两个矢量的数积 64

43．矢量的长；矢量和坐标轴的夹角；两点间的距离 65

44．坐标单位矢量；方向余弦 67

45．两个矢量（或两个方向）所成的角 68

46．两个矢量（或方向）垂直的条件 70

47．平面上旋转方向的定义 71

48．平面上两个方向的夹角的定义（在这个角有了正负号之後） 74

49．三角形的面积，已知构成两边的两个矢量 76

50．三角形的面积，已知三个项点 77

51．两个矢量的矢积 78

52．三个矢量的混合积，平行六面体的体积 80

53．四面体的体积，已知顶点的坐标 82

Ⅳ．用广义笛氏坐标表示度量性质的基本公式 83

54．协变和逆变的笛氏坐标 83

55．协变坐标和逆变坐标的关系 84

56．几个主要的表示方式：两个矢量的数积，矢量的长，两点间的距离，两个方向所成的角 86

57．在狭义斜角坐标系里的方向坐标和方向余弦 88

Ⅴ．各种坐标系 90

58．平面上的极坐标系 90

59．推广 91

60．平面上极坐标和笛氏坐标的变换 91

61．空间的极坐标 93

62．半极坐标（柱面坐标） 94

63．坐标通则 95

第三章 笛氏坐标的变换，运动和仿射变换 98

Ⅰ．笛氏坐标变换的一般公式 98

64．原点的移动 98

65．坐标矢量的变换 99

66．一般情形 102

67．补充 105

68．协变坐标的变换 108

Ⅱ．坐标变换的最重要特款 109

69．平面上的直角坐标变换 109

70．空间的直角坐标变换 112

71．直角坐标变换公式中系数间的关系 114

72．正交代换，前节公式的代数证法 118

73．欧拉角 119

74．平面上狭义斜角坐标的变换 123

Ⅲ．运动和仿射变换 123

75．运动 124

76．仿射变换 127

77．相似变换和运动，都是仿射变换的特款 134

78．点变换群，几何学科的分类 138

第四章 平曲线的方程，平面上的直线 141

Ⅰ．平曲线的分析表示法 141

79．曲线的方程 141

80．举例：直线和圆的方程 143

81．曲线的参数表示法 147

82．不同坐标系的曲线方程 148

83．曲线分析表示法的基本问题 149

84．各种曲线举例 151

85．平曲线的分类 157

86．可分解和不可分解的代数曲线 159

87．关於两曲线的交点 160

Ⅱ．直线方程的各种格式 162

88．直线方程的方向系数式，参数表示式 162

89．直线方程的简化式 165

90．直线方程的一般式 168

91．一般式直线方程的特款 169

92．三项式Ax+By+C的符号 170

93．截距式 172

94．已知方程，求作直线的方法 173

95．在一般式的方程里，系数A和B的几何意义 174

96．直线方程的标准式 175

Ⅲ．关於直线的主要问题 177

97．问题1．求两已知直线的平行和叠合条件 178

98．问题2．求两直线的交点 180

99．问题3．求笛氏坐标的？换公式，已知新坐标轴的方程 181

100．问题4．求已知直线和已知曲线的交点 182

101．问题5．求两条已知直线的夹角 186

102．问题6．求两条直线垂直的条件 187

103．问题7．求已知点到已知直线的距离 188

104．问题8．求联结两已知点的线段为已知直线所分割的比值 190

105．在直线方程里独立常数的个数 191

106．线束 192

107．问题9．求直线的方程，经过已知点又和已知方向平行 193

108．问题10．求直线的方程，经过已知两点M1（x1,y1）和M2（x2，y2） 193

109．问题11．求直线的方程，经过已知点又和已知直线垂直 194

110．问题12．求直线的方程，经过已知点又和已知直线成已知角 194

111．直线的一般方程，经过两条已知直线的交点 195

112．问题13．求直线，经过两条已知直线的交点又经过另一已知点 198

113．三直线相交於一点的条件 199

114．问题14．求直线方程，经过已知两直线的交点，并取得已知方向 201

115．常数k的几何意义 201

第五章 空间的直线和平面 205

Ⅰ．曲面的方程，曲线的方程系 205

116．曲面的方程 205

117．在直角坐标系里，球面和圆锥面的方程 207

118．柱面的方程 209

119．曲面的分类 210

120．曲线的方程 211

121．曲线和曲面的参数表示 212

122．空间曲线和曲面的交点 214

Ⅱ．平面的方程 215

123．平面方程的一般式，参数表示式 215

124．系数A,B,C的几何意义 217

125．特款 218

126．四项式Ax+By+Cz+D的符号 219

127．平面方程的截距式 219

128．已知方程，求作平面的图 220

129．平面在坐标平面上的截痕 221

130．两个平面平行或叠合的条件 222

131．平面方程的标准式 223

Ⅲ．空间直线的方程系 225

132．直线方程系的方向系数式，参数表示式 225

133．直线方程系的简化式 228

134．两条直线平行和叠合的条件 230

135．直线方程系的一般式 230

Ⅳ．关於直线和平面的主要问题 232

136．问题1．求两个平面的交线 233

137．问题2．求三个平面的交点 233

138．问题3．求笛氏坐标系的变换公式，已知新坐标平面的方程 234

139．题问4．求平面和直线的交点 235

140．题问5．求1°已知曲面和已知平面的交线；2°已知曲面和已知直线的交点；3°已知曲线和已知平面的交点 236

141．问题6．求已知平面或已知直线所成的角 238

142．问题7．求已知直线和已知平面的垂直条件 241

143．问题8．求已知点到已知平面的距离 242

144．问题9．求联结两已知点的线段被已知平面所分割的比值 243

145．决定平面和直线在空间的位置所需的独立常数的数目 243

146．线把和面把，面束 244

147．问题10．求直线，经过已知点且和已知直线（或矢量）平行 248

148．问题11．求直线，经过已知点 M1（x1，y1，z1）且和已知平面Ax+By+Cz+D=0垂直 248

149．问题12．求经过两个已知点的直线 248

150．问题13．求平面，经过已知点M（x1,y1,z1）且和已知平面平行 248

151．问题14．求平面，经过已知点M1（x1,y1,z1）且和已知直线或矢量垂直 249

152．问题15．求平面，经过已知直线和已知点 249

153．问题16．求平面，经过不共线的三个已知点 250

154．问题17．求平面，经过已知直线，且和另一已知直线或矢量平行 251

155．问题18．求平面，经过已知直线且和已知平面垂直 252

156．问题19．求两已知直线共面（相交）的条件 252

157．问题20．求垂线的方程，通过已知点M垂直於已知直线？ 253

158．问题21．求已知点到已知直线的距离 255

159．问题22．求两直线的公共垂线的方程系 256

160．问题23．求两直线间的最短距离 256

第六章 虚元素和假元素，齐次笛氏坐标和投影坐标，投影变换 258

Ⅰ．几何上的虚元素 258

161．虚点和虚矢量 258

162．虚直线和虚平面 261

Ⅱ．齐次坐标和假元素，直线坐标和平面坐标 262

163．直线上的齐次笛氏坐标 262

164．应用於代数方程求根的问题 264

165．平面上的齐次笛氏坐标 266

166．在平面上用齐次坐标时直线的方程 268

167．在平面上用齐次坐标时，直线的参数表示式 276

168．空间的齐次笛氏坐标 278

169．空间直线的参数表示式 284

170．平面上的直线坐标，点和直线的对偶 285

171．空间的平面坐标，点和平面的对偶 288

172．投影几何的基本形 289

173．齐次笛氏坐标的变换 289

174．代数曲线和代数曲面的齐次坐标方程，几个一般性的命题 292

175．假虚圆点和假虚圆 300

Ⅲ．投影坐标和投影变换 303

176．分式平直代换（直射代换） 303

177．点的投影坐标 305

178．代数曲线和曲面的齐次投影坐标方程 311

178a．点列和线束用投影坐标的参数表示 314

179．投影点变换 315

180．四点的交比 320

181．调和隔离 325

182．交比在直射代换下的不变性 325

183．四直线的交比和四平面的交比 327

184．投影和截影 330

185．一元度基本形间的投影对应 331

186．直线上投影坐标的几何意义 332

187．直线上四点的交比，用参数来表示 334

188．线束（面束）内四条直线（四个平面）的交比，用参数来表示，束内的投影坐标 335

189．两个一元度基本形投影对应的分析表示法 336

190．叠置的一元度基本形，对合 337

191．平面上和空间的投影坐标的几何意义 340

192．平面上和空间的投影坐标变换的几何意义 344

193．平面上和空间的投影点变换的基本性质 345

194．对射（对偶） 346

第七章 圆锥截线的简化方程和初步性质 349

Ⅰ．圆锥截线的标准方程 349

195．椭圆的定义和它的标准方程 349

196．椭圆形状的研究 351

197．双曲线的定义和它的标准方程 354

198．双曲线的形状的研究，渐近线 356

199．焦距的性质，椭圆和双曲线的准线和这些曲线的新定义 359

200．抛物线的定义和它的标准方程 363

Ⅱ．椭圆，双曲线，抛物线，作为正圆锥面的截线 367

201．正圆锥面和平面的交线 367

202．由给定的圆锥面求给定的圆锥截线 370

Ⅲ．圆锥截线方程的某些简单形式，相似的圆锥截线 371

203．取渐近线为坐标轴的双曲线方程 371

204．圆锥截线的参数表示，逐点作图法 373

205．圆锥截线的极坐标方程（以焦点为极点） 376

206．取顶点为原点的圆锥截线方程 379

207．相似的圆锥截线 381

第八章 二次曲线的投影性质，切线和极线 385

Ⅰ．二级曲线的投影分类 385

208．记号 385

209．二级曲线的可分解和不可分解，二级曲线的叠合 389

210．二级曲线可分解的条件 390

211．用投影坐标时二级曲线的典型方程，投影的分类 391

212．用五点决定二级曲线 394

213．二级曲线束 397

214．巴斯卡定理 399

215．用两个投影线束产生二级曲线 401

Ⅱ．二级曲线和直线的交点，切线 402

216．在齐次坐标系决定二级曲线和直线的交点的方程 402

217．二级曲线的切线 403

218．切线作为割线的极限 405

Ⅲ．极点和极线，切线坐标方程 410

219．从平面上已知点作切线，极点和极线 410

220．极点和极线的另一定义，共轭点 413

221．二级曲线所决定的配极对应 414

222．自配极三角形 415

223．共轭直线，二级曲线的切线坐标方程，阶的概念 416

224．对偶原则应用於二级曲线的情形 418

第九章 二次曲线的仿射性质和度量性质 420

Ⅰ．仿射分类，中心，直径，渐近线 420

225．二级曲线的仿射分类 420

225a．抛物类型的可分解曲线 422

226．渐近方向 425

227．在不齐次笛氏坐标系决定二级曲线和直线的交点的方程 425

228．二级曲线的中心 427

229．渐近线 430

230．二级曲线的直径 431

231．直径和切线的关系 436

232．直径作为假点的极线 437

233．已知二级曲线的图形求作中心和直径，互补的两弦 437

234．有中心二级曲线的方程，取共轭直径为坐标轴 438

235．抛物类型曲线的简化方程 442

236．二级曲线的方程取切线和径过切点的直径为坐标轴 443

Ⅱ．主直径，在直角坐标系的标准方程 444

237．主直径 444

238．圆锥截线在直角笛氏坐标系的标准方程 446

239．圆的方程 448

Ⅲ．法线，切线的焦性 450

240．平曲线的法线 450

241．椭圆切线的焦性 450

242．双曲线切线的焦性 453

243．抛物线切线的焦性 455

Ⅵ．椭圆，双曲线，抛物线的直径的研究 457

244．椭圆的直径 457

245．双曲线的直径 459

246．抛物线的直径 463

第十章 不变量，二次曲线的形状和位置的决定 464

Ⅰ．不变量 464

247．笛氏坐标变换对於方程的影响 464

248．不变量的概念，举例 467

249．二级曲线方程的基本不变量 469

250．在广义笛氏坐标情形下的度量不变量 473

251．应用：阿波罗尼定理 475

Ⅱ．二级曲线方程的化简 476

252．对於中心的变换 476

253．用正交代换，把二元二次方式化为典型式 479

254．有中心二级曲线的方程的化简 481

255．没有确定中心的曲线方程的化简 484

256．一对平行直线的方程的第二化简法，条件不变量 488

257．结果的总结，1．二级曲线的仿射分类 490

258．结果的总结，2．从二级曲线的方程去决定它的形状和大小 492

259．结果的总结，3．化方程为标准式并决定曲线在平面上的位置 494

260．两条二级曲线相似的条件 499

261．两条二级曲线全等的条件，正交不变量A,A33,S组成完备系的证明 503

第十一章 二次曲面的基本性质，切面，中心，直径 508

Ⅰ．投影分类，切面 508

262．记号 508

263．二级曲面的分解，叠合条件 511

264．二级曲面的投影分类 512

265．在齐次坐标系决定直线和二级曲面的交点的方程 518

266．切线，切面 519

267．具有椭圆点，双曲点，抛物点的曲面 520

268．切锥面，极面和极点，切面坐标方程 524

Ⅱ．二级曲面的仿射性质，中心，直径 526

269．曲面和假平面的交线，仿射分类 526

270．在不齐次笛氏坐标系，决定二级曲面和直线的交点的方程 530

271．中心 530

272．直径面 532

273．有中心曲面的直径面和直径 534

274．直径面作为假点的极面 535

275．渐近线 535

Ⅲ．度量性质，主直径面，化方程为标准式 536

276．主直径面和主方向 536

277．关於三元二次方式变换的某些一般命题 538

278．方程D(λ)=0的根以及和它们对应的主方向的性质 541

279．笛氏坐标变换对於曲面方程的影响 547

280．正交不变量 547

281．化二级曲面方程为标准式，1．有中心曲面 549

282．化二级曲面方程为标准式，2．没有确定中心的曲面 552

283．化二级曲面的方程为标准式，3．结果的总结 555

283a．笛卡儿符号法则 557

第十二章 个别二次曲面形状的探求，母直线，圆截口 558

Ⅰ．个别二级曲面形状的探求 558

284．个别曲面的标准方程一览表 558

285．平行平面和二级曲面的截口 559

286．二级锥面 559

287．椭圆面 561

288．单叶双曲面 564

289．双叶双曲面 568

290．椭圆抛物面 570

291．双曲抛物面 573

Ⅱ．二级曲面的母直线 576

292．一般的说明 576

293．单叶双曲面的母直线 578

294．双曲抛物面的母直线 585

295．已知三条母线，求作二级直纹曲面的方法 589

Ⅲ．二级曲面的圆截口 590

296．引言 590

297．有中心二级曲面的圆截口 592

298．椭圆抛物面和椭圆柱面的圆截口 596

附录 关於一次方式和二次方式的基本知识 599

Ⅰ．行列式和表（矩阵） 599

1．行列式的某些性质 599

2．行列式或表的秩 602

3．行列式不为零的一次方程系的解答 603

Ⅱ．一次方式 604

4．代数方式，一次方式 604

5．一次方式系，一次方式的相关或无关 605

6．应用於在一般情形下，求解一次齐次方程系的问题 609

6a．特款 613

7．不齐次方程系的解答 614

8．平直代换 616

9．平直代换的继续进行 619

Ⅲ．双一次方式和二次方式 619

10．双一次方式与二次方式 619

11．二次方式的变换 621

12．化二次方式为典型式 624

13．二次方式可分解为两个一次因子的条件 628

14．正交代换 630

15．关於利用正交代换，化二次方式为典型式的方法 633