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第五章 多元函数的微分学及其应用 1

一、教学基本要求 1

二、释疑解惑 1

1．如何正确理解多元函数的极限的定义？ 1

2．试问极限？f(x,y)=？f（ρcosθ，ρsinθ）吗？ 2

3．求多元函数的极限有哪些方法？ 3

4．证明二重极限不存在有哪些方法？ 6

5．试述二重极限与累次极限的关系？ 7

6．函数在一点可微的另一充分条件 8

7．如何判定函数的可微性？ 9

8．二元函数的偏导数与方向导数有何关系？ 10

9．二元函数在某点处沿任意方向的方向导数存在与函数在该点处连续有何关系？ 11

10．用框图表示函数在一点有极限、连续、偏可导、方向导数存在、可微与偏导数连续之间关系？ 12

11．将偏微分方程通过变量代换化为简单方程有哪些方法？ 13

12．试证多元函数极值存在的充分条件． 15

13．二元函数在某点处沿任一条直线均取得极小值，则函数在该点一定取得极小值吗？ 15

14．求目标函数的条件极值，其几何意义是什么？ 16

15．多元函数的条件极值是否总能转化为无条件极值求解？ 16

16．试述多元函数的条件极值的判定法． 16

1．求二元函数的定义域 19

17．多元函数在有界闭区域内有惟一的极值点，是否为其最值点？ 19

三、典型题型分析 19

2．计算多元函数的偏导数 20

3．求函数的全微分 21

4．求多元复合函数的偏导数 22

5．求方程或方程组确定的隐函数的偏导数（全导数） 27

6．求函数的方向导数 30

7．求函数的梯度 32

8．求曲线的切线方程和法平面方程 34

9．求曲面的切平面方程及法线方程 36

10．求多元函数的极值与最值 39

四、习题解难 41

5-1 多元函数的极限与连续性 41

5-2　偏导数 43

5-3 多元复合函数的求导法则 46

5-4　隐函数求导法则 49

5-5 多元向量值函数的导数及几何应用 51

5-6　多元函数的极值 53

五、考研题选解 59

六、综合测试题和测试题答案或提示 68

第六章 多元函数积分学及其应用 72

一、教学基本要求 72

二、释疑解惑 72

1．计算多元函数积分时，其积分区域的表达式能否代入到被积函数中去？ 72

2．怎样计算被积函数带有绝对值、最值（max,min）等符号的积分？ 73

3．何谓三重积分的“先二后一”计算法？何时运用为好？ 77

4．二次积分的积分次序总是可以交换的吗？若不是，则举例说明． 78

5．如何利用区域的对称性计算多元数值函数的积分？ 78

6．积分区域关于坐标轴或坐标面的对称性在多元向量值函数积分（第二型线、面积分）中如何运用？ 81

7．何谓轮换对称性？如何运用轮换对称性计算多元函数的各类积分？ 83

8．重积分有关于任意直线、任意平面的对称性吗？ 85

9．怎样计算积分区域为一些特殊几何形体的积分？ 86

10．第一型平面曲线积分的几何意义是什么？ 88

11．封闭平面曲线L在某点处的外法线向量的方向余弦和切向量的方向余弦之间有何关系？ 89

12．曲面方向不同的第二型曲面积分转化成的第一型曲面积分有何不同？ 91

13．记号dy∧dz,dz∧dx,dx∧dy表示何意？ 91

14．曲线积分的“牛顿—莱布尼茨公式”成立的条件是什么？ 92

15．试述数值函数积分与向量值函数积分的关系． 93

16．牛顿—莱布尼茨公式、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式之间有什么联系？ 94

1．估计重积分的值 96

三、典型题型分析 96

2．重积分化为累次积分 97

3．交换二次积分的积分次序 98

4．关于二重积分或二次积分的证明题 99

5．用极坐标换元法计算二重积分 102

6．用柱面坐标、球面坐标换元法计算三重积分 104

7．由多元数值函数积分所确定的函数及其运算 105

8．用一般换元法计算重积分 107

9．计算第一型曲线积分 109

10．计算第一型曲面积分 110

11．关于函数f（p）在区域Ω上的平均值 112

12．多元数值函数积分的应用 113

13．计算第二型曲面积分 116

14．利用高斯公式计算第二型曲面积分 117

15．计算第二型曲线积分 119

16．利用格林公式与斯托克斯公式计算第二型曲线积分 119

17．用曲线积分与路径无关计算曲线积分 121

18．求微分式的原函数 122

19．梯度、散度和旋度的物理意义及其计算 124

6-1 多元数值函数积分的概念和性质 125

四、习题解难 125

6-2　重积分在直角坐标系下的计算法 127

6-3　重积分的换元计算法 128

6-4 第一型曲线积分和曲面积分的计算法 134

6-5 多元数值函数积分的应用 136

6-6　含参变量积分 144

6-7　第二型曲面积分和高斯公式 149

6-8　第二型曲线积分和格林公式 153

五、考研题选解 163

六、综合测试题和测试题答案或提示 176

一、数学史料 179

第七章　无穷级数 179

二、教学基本要求 181

三、释疑解惑 181

1．无限项之和的级数是否与有限项之和一样满足结合律、交换律？ 181

2．用比较审敛法时，如何选取比较级数？ 183

3．试述比值审敛法与根值审敛法的异同点 185

4．交错级数不满足莱布尼茨准则的条件un+1≤un时，一定发散吗？ 186

5．绝对收敛级数和条件收敛级数的本质区别是什么？ 186

6．求幂级数收敛半径有哪些方法？ 187

7．求幂级数的和函数其解题思想是什么？ 188

8．何谓傅里叶级数和傅里叶展开式？ 190

9．傅里叶系数an、bn有哪些重要性质？ 191

四、典型题型分析 193

1．利用无穷级数的概念和性质判断级数的敛散性 193

2．正项级数的审敛法 194

3．非正项级数的审敛法 198

4．利用已知级数，证明其相关级数的敛散性 200

5．利用级数概念求数列极限 201

7．求函数项级数收敛域 202

6．一般项为定积分的级数的审敛方法 202

8．求幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域 203

9．求幂级数的和函数 204

10．函数展开为幂级数 205

11．求函数的近似值 207

12．周期函数展开为傅里叶级数 208

13．非周期函数展开为傅里叶级数 209

14．求常数项级数的和 211

15．由函数性质导出其傅里叶系数之间的关系 214

7-1　常数项级数 216

五、习题解难 216

7-2　常数项级数的审敛法 217

7-3　幂级数 223

7-4　函数展开成幂级数 228

7-5　傅里叶级数 232

六、考研题选解 235

七、综合测试题和测试题答案或提示 247

第八章　微分方程 251

一、数学史料 251

二、教学基本要求 252

三、释疑解惑 253

1．一个微分方程是否都存在通解？通解是否包含其所有解？ 253

2．解微分方程过程中，会丢解和增解吗？ 253

3．求微分方程的通解时，记其任意常数时，应注意些什么？ 254

4．常数变易法在解微分方程中有何重要意义？ 255

5．如何正确使用解的结构定理？ 258

6．简述建立微分方程数学模型的要点是什么？ 259

四、典型题型分析 264

1．可化为可分离变量方程的一阶方程 264

2．可化为一阶线性方程的方程 268

3．全微分方程 270

4．用降阶法求解的微分方程 271

5．用升阶法求解的微分方程 274

6．解常系数线性微分方程 276

7．可化为常系数线性方程的方程 278

8．导出微分方程的几类问题 279

9．微分方程的幂级数解法 285

10．常系数线性微分方程组的解法 286

11．对称型微分方程组的解法 288

8-1　一阶微分方程 289

12．综述 289

五、习题解难 289

8-2　可降阶的高阶方程 295

8-3　高阶线性微分方程 298

8-4　微分方程的幂级数解法 304

六、考研题选解 305

七、综合测试题和测试题答案或提示 313

下册期中测试题、期末测试题 317

下册期中测试题、期末测试题答案或提示 325