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一、复数集 1

§1 集合、一一对应 2

1．集合的概念 2

2．一一对应 4

§2 数集扩张的原则 5

§3 复数集——实数集添加“i”后的扩张 8

1．实数集为什么还要进一步扩张？ 8

2．新数集将是怎样的？——扩张前的猜想 10

3．复数集的建立 11

二、平面向量与复数 32

§4 向量、向量的线性运算 32

1．向量及其几何表示 32

2．向量的线性运算 34

3．向量的共线与共面 38

4．基向量、维 42

§5 平面向量与复数 43

1．一维向量与实数 43

2．复数的几何表示 44

3．复数加（减）法与数乘的几何意义 45

4．复数乘除法的几何意义 47

5．复数的乘方，棣莫弗定理 55

6．复数的指数形式 58

7．模的性质 58

三、复数集的新性质 64

§6 开方运算永远可以施行 64

1．复数的开方法则 64

2．n次方根之间的关系、n次单位根、原根 68

3．附注 72

1．一般次序 74

§7 复数不能比较大小 74

2．数目次序 77

3．复数不能比较大小 78

四、复数应用举例 80

§8 复数在几何上的一些应用 80

1．距离公式与定比分点公式 81

2．两条直线的交角 83

3．曲线与方程 86

4．平面区域的表示 87

5．一些例子 88

§9 求和？A？sin（ωx+？） 92

§10 复数在交流电路计算中的应用 97

1．只含电感的交流电路 98

2．只含电容的交流电路 99

五、复数理论研究的几个问题 104

§11 几个有关的基本概念 105

1．代数运算 105

2．数域、域、子域 106

3．同构对应 115

§12 关于扩张的最小性与唯一性 118

1．扩张的最小性 118

2．扩张的唯一性 118

§13 复数域还能进一步扩张吗？ 123

1．从运算的需要看，复数域还要扩张吗？ 123

2．从解方程的需要看，复数域还要扩张吗？ 126

3．关于复数集进一步扩张的一些结论 126

附录一 欧拉公式？＝cosθ＋？sinθ的一个证明 131

附录二 习题、总复习题解答与提示 134