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上篇 中子输运问题的数值计算方法 3

第一章 中子输运方程 3

1.1 引言 3

1.2 坐标系与基本定义 5

1.2.1 坐标系 6

1.2.2 中子密度、中子通量密度和中子流密度 8

1.3 中子输运方程 11

1.3.1 中子输运方程的建立 11

1.3.2 定解条件 16

1.3.3 不同坐标系中散度算子Ω·？φ的表达式 18

1.4 中子输运方程的守恒形式 24

1.4.1 在曲坐标系中中子输运的角度再分布 24

1.4.2 输运算符的守恒形式 25

1.5.1 中子积分输运方程 29

1.5 中子输运方程的积分形式 29

1.5.2 微分-积分输运方程和积分输运方程的等价性 34

1.6 稳态输运方程的本征值问题 36

1.6.1 k本征值问题 37

1.6.2 α本征值问题 40

1.7 中子输运方程近似解法概述 42

1.8 分群中子输运方程 48

1.8.1 散射源项的球谐函数展开 48

1.8.2 分群中子输运方程及群常数 50

1.9 核数据库和多群常数库 55

1.9.1 核数据库 55

1.9.2 多群常数库 58

1.9.3 少群常数的计算及能群的归并 60

参考文献 62

2.1.1 一维平面几何PN近似方程 64

2.1 一维情况下PN近似方程 64

第二章 球谐函数方法 64

2.1.2 边界条件 68

2.1.3 扩散（P1）近似 71

2.2 一维平面几何PN近似方程的数值解法 72

2.2.1 PN近似的差分方程 72

2.2.2 PN近似有限差分方程的解法 75

2.3 一维曲线坐标系中的PN近似 76

2.3.1 一维球坐标系 76

2.3.2 一维圆柱坐标系 78

2.4 双PN近似 81

2.5 一般几何坐标系中的球谐函数（PN）近似方程 84

2.5.1 三维直角坐标系中的PN近似方程 84

2.5.2 二维直角坐标系中的PN近似方程 88

2.5.3 二维（R-Z）圆柱坐标系中的PN近似方程 89

2.5.4 一点注记 90

2.6 扩散近似 91

2.6.1 P1近似与扩散近似 91

2.6.2 扩散近似的边界条件 94

2.6.3 扩散理论的适用条件 97

2.6.4 多群扩散方程 98

2.7 中子通量密度球谐矩能谱的近似计算 100

2.8 二阶型中子输运方程 105

2.8.1 二阶偶对称型中子输运方程 105

2.8.2 中子输运方程的变分原理 108

2.8.3 球谐近似方法中的边界条件的变分求法 109

2.9 中子输运方程的球谐函数-有限元方法 115

2.9.1 二阶自共轭形式的SAAF中子输运方程 115

2.9.2 SAAF方程的球谐函数展开 118

2.9.3 PN方程的变分形式 121

2.9.4 有限元离散 122

参考文献 128

3.1 一维球几何离散SN方法 133

3.1.1 离散求积组的选取 133

第三章 离散纵标（SN）方法 133

3.1.2 离散有限差分方程的建立 139

3.1.3 差分方程的求解 145

3.2 二维及三维离散纵标（SN）方法 147

3.2.1 离散求积组的选取 147

3.2.2 角度变量的离散 159

3.2.3 空间变量的离散 162

3.2.4 差分方程的解 170

3.3 加速收敛方法 172

3.3.1 粗网格再平衡方法 173

3.3.2 扩散综合加速收敛（DSA）方法 177

3.3.3 契比雪夫加速收敛方法 181

3.4.1 扫描方向与计算过程的稳定性 184

3.4 数值计算中的一些问题 184

3.4.2 差分格式的截断误差 185

3.4.3 负中子通量密度及其修正 187

3.5 射线效应 190

3.5.1 射线效应 190

3.5.2 一维情况下离散纵标方程和球谐函数法方程的等价性 192

3.5.3 二维X-Y几何中虚源的构造 195

3.6 离散纵标方法应用程序 199

参考文献 200

第四章 积分输运方法 204

4.1 积分输运方法的基本原理 204

4.1.1 基本方程 204

4.1.2 输运近似 209

4.2 中子飞行首次碰撞概率的计算 212

4.2.1 二维多柱系统间的中子首次碰撞概率 213

4.2.2 互易关系式 218

4.3 一维圆柱栅元内中子空间-能量分布的计算 220

4.3.1 基本方程 220

4.3.2 栅元首次碰撞概率的计算 223

4.3.3 碰撞概率方程的求解 228

4.4 面流法——燃料组件内中子通量密度分布的计算 229

4.4.1 穿透概率法 230

4.4.2 QP1近似穿透概率法 239

4.5 组合法 245

参考文献 246

第五章 多群扩散方程的数值解法 248

5.1 源迭代法 248

5.2 一维扩散方程的数值解法 252

5.2.1 差分方程组的推导 252

5.2.2 差分方程组的解法 255

5.3 多维扩散方程的差分方法 256

5.3.1 二维差分方程组 257

5.3.2 三维问题的差分方程组 260

5.4 差分方程的迭代解法 262

5.5 中子扩散方程数值解法 265

5.6 幂迭代的加速收敛方法 268

5.6.1 粗网格再平衡方法 268

5.6.2 契比雪夫多项式外推方法 273

5.7 粗网节块方法 278

5.7.1 引言 278

5.7.2 节块展开法 280

5.7.3 幂迭代的加速收敛技术 291

5.8 节块内精细功率分布的重构 293

5.8.1 均匀化节块内精细功率分布的重构 294

5.8.2 节块角点中子通量密度值的确定 297

5.8.3 燃料组件内精细功率分布的重构 299

参考文献 300

第六章 中子输运共轭方程和微扰理论 303

6.1 共轭算子和中子输运共轭方程 303

6.1.1 共轭算子 303

6.1.2 中子输运共轭方程 304

6.1.3 奇-偶二阶型中子输运方程的自共轭性 307

6.2 多群P1近似和扩散近似共轭方程 309

6.2.1 多群扩散近似共轭方程 309

6.2.2 P1近似的共轭方程 313

6.3 共轭算子的本征值及其本征函数 315

6.4 中子价值 318

6.5 中子共轭方程的建立与物理解释 326

6.5.1 中子输运共轭方程 326

6.5.2 分群中子扩散的共轭方程 328

6.6.1 中子输运共轭方程的积分方程形式 331

6.6 积分输运共轭方程 331

6.6.2 中子积分输运方程的共轭方程 334

6.7 微扰理论及其应用 337

6.7.1 扰动方程 337

6.7.2 中子输运方程的扰动方程 339

6.7.3 分群扩散方程的扰动方程 341

6.8 微扰理论的一些应用 343

参考文献 345

下篇 中子输运问题的随机模拟 349

第七章 蒙特卡罗方法基本原理 349

7.1 蒙特卡罗方法概述 349

7.1.1 方法简介 349

7.1.2 误差估计 351

7.1.3 方法特点 353

7.2 随机数产生 355

7.2.1 随机数与伪随机数 355

7.2.2 伪随机数的产生 357

7.2.3 随机数发生器 358

7.3 随机变量的抽样 360

7.3.1 离散型随机变量的抽样 360

7.3.2 连续型随机变量的抽样 362

7.4 随机抽样方法 365

7.4.1 偏倚抽样 366

7.4.2 舍选抽样 367

7.4.3 复合抽样 370

7.4.4 分层抽样 371

7.4.5 系统抽样 373

7.4.6 等概率抽样 374

参考文献 375

第八章 中子输运问题的蒙特卡罗模拟 377

8.1 中子输运方程的积分形式 377

8.2.1 发射密度方程的逐次逼近解 380

8.2 发射密度方程的模拟 380

8.2.1 发射密度方程的随机模拟 381

8.3 中子通量密度的计算 387

8.3.1 吸收估计 388

8.3.2 碰撞估计 389

8.3.3 期望估计 390

8.3.4 径迹长度估计 391

8.4 点通量密度的计算 393

8.4.1 角通量密度的全空间形式 393

8.4.2 点通量密度的指向概率法 395

8.4.3 点估计改进措施 398

8.5 各种通量密度估计方法利弊分析 399

8.6 中子跟踪过程 401

8.6.1 源参量的抽样 402

8.6.2 碰撞距离的抽样 404

8.6.3 碰撞核及反应类型的确定 405

8.6.4 散射后中子能量和方向的确定 407

8.6.5 次级粒子的处理 411

8.6.6 判断中子历史是否结束 412

8.6.7 计算流程 412

8.7 临界计算 414

8.7.1 keff特征值计算 414

8.7.2 α特征值计算 416

8.8 响应量的计算 417

8.9 几何描述 419

8.9.1 组合几何 419

8.9.2 碰撞点几何块的确定 420

8.9.3 点到界面交点的计算 422

8.10 小结 423

参考文献 423

9.1 多群中子输运方程的随机模拟 425

第九章 蒙特卡罗多群中子输运计算 425

9.2 多群散射角分布及其处理 430

9.2.1 一般高斯求积 430

9.2.2 广义高斯求积 431

9.2.3 散射极角余弦的确定 434

9.2.4 P1和P3的处理 435

参考文献 439

第十章 降低方差技巧 440

10.1 蒙特卡罗重要抽样 440

10.1.1 重要函数的构造 441

10.1.2 重要函数的使用 445

10.2 输运计算中的降低方差技巧 445

10.2.1 轮盘赌与分裂 446

10.2.2 指数变换 447

10.2.4 源方向偏倚抽样 448

10.2.3 权窗 448

10.2.5 隐俘获 450

10.2.6 强迫碰撞 450

10.3 体探测器估计的指向概率法 451

10.3.1 两角度系统之间的关系 453

10.3.2 指向概率的计算 455

10.4 MCNP程序简介 458

10.5 小结 463

参考文献 463

第十一章 粒子输运问题蒙特卡罗并行计算 465

11.1 并行计算机与并行系统 465

11.2 并行随机数产生 466

11.2.1 跳跃法 467

11.2.2 分段法 468

11.3.1 并行计算要点 469

11.3 定常粒子输运问题的并行计算 469

11.3.2 并行加速比 470

11.3.3 并行容错和负载平衡 471

11.3.4 MCNP,KENO程序并行现状 472

11.4 MCNP程序的MPI并行化 473

11.4.1 并行预处理 473

11.4.2 并行程序设计 474

11.4.3 并行编程系统 476

11.4.4 并行重新启动 477

11.5 提高并行加速比的措施 477

11.5.1 动态负载平衡 477

11.5.2 降低I/O措施 478

参考文献 478

附录1 勒让德多项式和球谐函数 480

附录2 Bickley函数 484

参考文献 486