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第1章 矩阵论基础 1

1.1 矩阵的三角相似与对角相似 1

1.2 矩阵的QR分解 6

1.3 矩阵的满秩分解 15

1.4 矩阵的奇异值分解 17

1.5 矩阵的广义逆及其应用 20

1.6 矩阵的特征值估计与隔离 27

习题1 34

第2章 线性方程组的迭代解法 36

2.1 古典迭代方法 36

2.2 基于变分原理的迭代方法 45

2.2.1 最速下降法 47

2.2.2 共轭梯度法 48

2.3 基于Galerkin原理的迭代方法 51

2.3.1 Galerkin原理 51

2.3.2 Arnoldi算法 52

2.3.3 GMRES算法 55

2.4 行作用方法 58

2.5 迭代-校正加速方法 63

2.5.1 整体校正方法 63

2.5.2 基于矩阵特征值的外推方法 67

2.5.3 基于Chebyshev多项式的最小零偏差方法 68

2.6.1 PE方法 70

2.6 块三对角方程组的迭代解法 70

2.6.2 二次PE方法 75

习题2 77

第3章 带状线性方程组的直接解法 79

3.1 三对角方程组 79

3.1.1 追赶法 79

3.1.2 变参数追赶法 84

3.1.3 线性插值法 87

3.1.4 双参数法 88

3.2 周期三对角方程组 90

3.2.1 追赶法 90

3.2.2 变形追赶法 91

3.2.3 变参数追赶法 94

3.3 Hessenberg方程组 97

3.3.1 线性插值法 98

3.3.2 双参数法 98

3.3.3 Givens变换法 99

3.4 块三对角方程组 100

3.4.1 追赶法 100

3.4.2 线性插值法 101

3.4.3 双参数法 103

3.5 周期块三对角方程组 105

3.5.1 追赶法 105

3.5.2 线性插值法 107

3.5.3 三参数法 110

习题3 112

第4章 特殊线性方程组的递推解法 113

4.1 Hankel方程组 113

4.2 Toeplitz方程组 116

4.3 Loewner方程组 119

4.4 范德蒙德方程组 124

4.4.1 线性方程组VTa=f的递推算法 125

4.4.2 线性方程组Vy=b的递推算法 126

习题4 129

5.1 幂方法 130

5.1.1 乘幂法 130

第5章 矩阵特征值问题的解法 130

5.1.2 逆幂法 131

5.2 Krylov方法 132

5.2.1 矩阵多项式 132

5.2.2 向量相对于矩阵的零化多项式 133

5.2.3 向量相对于矩阵的零化多项式计算 134

5.2.4 矩阵的最小多项式计算 135

5.2.5 矩阵的特征向量计算 137

5.3 Lanczos方法 139

5.3.1 Lanczos正交化过程 139

5.3.2 向量相对于矩阵的零化多项式计算 140

5.3.3 矩阵的最小多项式计算 141

5.3.4 实对称矩阵的L1算法 143

5.3.5 非对称矩阵的L2算法 144

5.4 Frame方法 147

5.5 Samuelson方法 149

习题5 153

第6章 线性矩阵方程的迭代解法 154

6.1 线性矩阵方程解的存在性 154

6.1.1 矩阵的直积 154

6.1.2 线性矩阵方程解的存在性 157

6.2 计算逆矩阵的迭代方法 160

6.2.1 古典迭代方法 160

6.3 Lyapunov矩阵方程的迭代解法 162

6.2.2 Newton迭代方法 162

6.3.1 矩阵方程AX+XAH=F的参数迭代解法 163

6.3.2 矩阵方程AX+XB=F的参数迭代解法 166

6.3.3 矩阵方程AXBT+BXAT=F的参数迭代解法 171

6.3.4 矩阵方程AXB+CXD=F的参数迭代解法 176

6.3.5 矩阵方程AX+XB=F的分组迭代解法 182

6.4 线性矩阵方程的迭代-校正解法 189

6.4.1 整体校正过程 190

6.4.2 单列校正过程 192

6.4.3 迭代-校正方法 194

习题6 197

参考文献 198

习题答案与提示 199