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第七章 多元函数微分学 1

第一节 多元函数的基本概念 1

一、平面点集及n维空间的点集 1

二、多元函数概念 4

三、多元函数的极限 6

四、多元函数的连续性 7

习题7－1 9

第二节 偏导数 10

一、偏导数的定义及其计算 10

二、高阶偏导数 13

习题7－2 15

第三节 全微分 16

一、函数可微及全微分的定义 16

二、全微分在近似计算中的应用 19

习题7－3 20

第四节 多元复合函数的求导法则 21

一、一个中间变量，多个自变量情形 21

二、多个中间变量，一个自变量情形 21

三、多个中间变量及多个自变量情形 22

习题7－4 26

第五节 隐函数的求导公式 27

一、一个方程的情形 27

二、方程组的情形 30

习题7－5 33

第六节 多元函数微分学的几何应用 34

一、空间曲线的切线与法平面 34

二、空间曲面的切平面与法线 36

习题7－6 39

第七节 方向导数与梯度 40

一、方向导数 40

二、梯度 41

习题7－7 42

第八节 多元函数的极值 43

一、多元函数的极大值和极小值 43

二、多元函数的最大值和最小值 46

三、条件极值和拉格朗日乘数法 48

习题7－8 52

第九节 二元函数的泰勒公式 53

一、二元函数的泰勒公式 53

二、二元函数极值充分条件的证明 55

习题7－9 56

总习题七 56

第八章 重积分 58

第一节 定积分的元素法 58

第二节 二重积分的概念与性质 59

一、二重积分的概念 59

二、二重积分的性质 62

习题8－2 64

第三节 利用直角坐标计算二重积分 64

习题8－3 73

第四节 利用极坐标计算二重积分 74

一、二重积分的极坐标计算公式 74

二、极坐标下的二重积分计算法 75

习题8－4 79

第五节 三重积分及其在直角坐标系下的计算方法 80

一、三重积分的定义 80

二、空间直角坐标系下三重积分的计算方法 81

习题8－5 86

第六节 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 87

一、利用柱面坐标计算三重积分 87

二、利用球面坐标计算三重积分 91

习题8－6 95

总习题八 96

第九章 曲线积分与曲面积分 98

第一节 对弧长的曲线积分 98

一、对弧长的曲线积分的概念与性质 98

二、对弧长的曲线积分的计算法 100

习题9－1 102

第二节 对坐标的曲线积分 103

一、对坐标的曲线积分的概念与性质 103

二、对坐标的曲线积分的计算法 105

三、两类曲线积分之间的联系 108

习题9－2 109

第三节 格林公式及其应用 110

一、格林公式 110

二、平面上的曲线积分与路径无关的条件 115

三、二元函数的全微分求积 117

习题9－3 120

第四节 对面积的曲面积分 121

一、对面积的曲面积分的概念与性质 121

二、对面积的曲面积分的计算法 122

习题9－4 125

第五节 对坐标的曲面积分 126

一、有向曲面 126

二、对坐标的曲面积分的概念与性质 127

三、对坐标的曲面积分的计算法 129

四、两类曲面积分之间的关系 132

习题9－5 134

第六节 高斯公式和斯托克斯公式 134

一、高斯公式 134

二、斯托克斯公式 138

三、空间曲线积分与路径无关的条件 141

习题9－6 142

第七节 场论初步 143

一、数量场与向量场 143

二、向量场的通量和散度 144

三、向量场的环流量与旋度 144

习题9－7 146

?``N槝]N& & 1第四节 高阶线性微分方程 200

一、高阶线性微分方程的概念及例子 200

二、二阶线性微分方程通解的结构 201

三、常数变易法 205

习题11－4 206

第五节 常系数线性微分方程 206

一、二阶常系数齐次线性微分方程 207

二、二阶常系数非齐次线性微分方程 210

习题11－5 215

第六节 数学建模与微分方程应用简介 216

一、数学模型简介 217

二、微分方程应用之一——人口增长的数学模型 218

三、微分方程应用之二——传染病传播的数学模型 220

总习题十一 222

第十二章 高等数学实验与数学建模实践 224

第一节 MATLAB简介 224

一、MATLAB的功能 224

二、MATLAB的特点 225

三、MATLAB基础知识 227

四、数据可视化 232

五、MATLAB编程及m文件 234

第二节 高等数学实验 235

一、空间函数曲线与曲面图形的绘制 235

二、一元函数的极限、求导与积分 239

三、无穷级数 242

四、多元函数微积分 243

五、微分方程 247

第三节 用MATLAB进行数学模型实践 248

一、导弹追踪问题 249

二、捕食者－食饵（Predator-Prey）模型 253

下册习题答案 257

参考文献 270