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第1章 变分原理 5

1.1 可微二次凸泛函的极小化问题 5

1.2 不可微凸泛函的极小化问题 15

1.3 多元函数微分学 19

第2章 Sobolev空间 23

2.1 Lebesgue积分 23

2.2 广义（弱）导数 24

2.3 Sobolev空间 29

2.4 嵌入定理 30

2.5 迹定理 36

2.6 Sobolev空间中的Green公式 41

2.7 等价模定理 42

第3章 椭圆边值问题 48

3.1 二阶椭圆型方程边值问题 48

3.2 线弹性边值问题 54

3.3 变分不等式 64

3.4 四阶椭圆边值问题 68

第4章 有限元离散 73

4.1 有限元离散的基本特性 73

4.2 三角形单元 78

4.2.1 三角形上一次元 78

4.2.2 三角形上高次元 84

4.3 矩形单元 93

4.3.1 双线性矩形单元 93

4.3.2 双二次矩形单元 95

4.4 四阶问题的协调有限单元 96

4.4.1 Argyris三角形元 96

4.4.2 Bell三角形元 98

4.4.3 Hsich-Clough-Tocher（HCT）三角形元 100

4.5 记号及一般概念 103

5.1 收敛性的一般考虑 108

第5章 协调有限元方法的误差分析 108

5.2 Sobolev空间中的分片多项式插值 110

5.2.1 仿射等价有限元之间的Sobolev半范数的关系 110

5.2.2 单元上插值误差估计 113

5.3 多边形区域上二阶问题的有限元误差 116

5.3.1 误差估计 116

5.3.2 低模估计 117

5.3.3 非光滑解的收敛性 120

5.4 有限元空间中的反不等式 121

5.4.1 单元上的反不等式 122

5.4.2 反不等式 123

5.5 有限元方法的非整数阶误差估计 128

5.5.1 Banach空间的内插理论 128

5.5.2 Sobolev空间中的内插 133

5.5.3 有限元方法分数阶误差估计 133

5.6 非光滑函数的插值（C1ément插值） 136

5.6.1 有限元空间 137

5.6.2 Clément插值 138

5.6.3 定理的证明 139

第6章 数值积分影响，等参数有限元 143

6.1 有限元方法中的数值积分 143

6.1.1 三角形上一次精度求积公式 146

6.1.2 2次精度求积公式 147

6.1.3 3次精度的求积公式 148

6.1.4 带导数的3次求积公式 149

6.1.5 矩形单元上的数值积分 150

6.2 数值积分下的抽象误差估计 151

6.3 相容误差估计 157

6.4 曲边区域的有限元逼近 168

6.4.1 仿射等价有限元逼近 169

6.4.2 等参有限元方法 172

6.5 等参数有限元 174

6.6 等参元的插值误差 177

6.7 等参元的误差估计 187

第7章 非协调有限元 191

7.1 抽象误差估计 191

7.2 二阶问题的非协调元 194

7.2.1 Crouzeix-Raviart三角形元 195

7.2.2 Wilson矩形元 200

7.3 四阶问题的非协调元 205

7.4 平面弹性问题的有限元方法及闭锁问题 212

7.4.1 闭锁现象 214

7.4.2 无闭锁有限元方法 224

第8章 混合有限元法 229

8.1 混合变分形式 229

8.2 Babuska-Brezzi理论 231

8.2.1 Babuska理论 231

8.2.2 inf-sup条件 235

8.2.3 Brezzi理论 238

8.2.4 Fortin准则 241

8.3 二阶椭圆问题的混合有限元方法 242

8.3.1 混合变分形式解的存在唯一性 242

8.3.2 混合有限元离散 243

8.4 Stokes问题的混合有限元方法 245

8.4.1 混合变分形式的存在唯一性 245

8.4.2 混合有限元离散 246

8.4.3 非协调混合有限元离散 250

第9章 多重网格法 253

9.1 多重网格法的思想 253

9.1.1 刚度矩阵的条件数 253

9.1.2 经典迭代法的缺陷 258

9.1.3 多重网格格式 260

9.2 W循环多重网格法的收敛性 264

9.2.1 网格相关范 264

9.2.2 逼近性 266

9.2.3 光滑性 267

9.2.4 收敛性 269

9.3 V循环多重网格法的收敛性 270

9.3.1 残量的算子表示 271

9.3.2 光滑性 272

9.3.3 收敛性 272

9.4 套迭代及其工作量的估计 274

9.5 瀑布型多重网格法 276

第10章 多水平方法 281

10.1 分层基方法 281

10.1.1 有限元空间的多水平分裂 281

10.1.2 一些基本结果 284

10.1.3 强Cauchy-Schwarz不等式 287

10.1.4 分层基刚度矩阵的条件数 290

10.2.1 L2投影的一些性质 292

10.2 BPX多水平方法 292

10.2.2 BPX多水平预条件子 297

10.2.3 BPX预条件子B的矩阵形式 301

第11章 区域分解法 306

11.1 经典Schwarz交替法 306

11.2 两水平加性Schwarz方法 310

11.3 非重叠型Schwarz方法 319

11.4 D-N交替法 322

11.4.1 Steklov-Poincaré算子 322

11.4.2 D-N交替法 323

11.4.3 有限元离散 331

11.4.4 矩阵形式 334

11.5 子结构方法 336

11.5.1 方法的描述 337

11.5.2 定理11.5.1的证明 340

参考文献 348