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目录 1

常用的数学思想方法 1

第一章 函数思想 1

1.1 利用函数的定义域和值域 1

1.2 利用函数的单调性 3

1.3 利用函数的奇偶性 6

1.4 利用函数的连续性和有界性 7

1.5 利用函数的周期性 9

1.6 利用二次函数的性质 10

1.7 利用二项式定理 12

习题一 13

第二章 方程思想 16

2.1 待定系数法 16

2.2 直接设元解方程 18

2.3 运用根的定义构造方程 19

2.4 运用判别式构造方程 20

2.5 运用根与系数关系构造方程 22

2.6 由待求式与条件式构造方程组 23

2.7 挖掘隐含条件构造方程（组） 25

2.8 构造复数方程 27

习题二 29

第三章 复数思想 31

3.1 利用复数幂的周期性 31

3.2 利用复数的模 32

3.3 利用复数积（商）的辐角 34

3.4 利用复数的n次方根 37

3.5 利用向量的旋转与共线 42

习题三 46

第四章 换元思想 49

4.1 比值换元 49

4.2 整体换元 50

4.3 倒数换元 52

4.4 均值换元 54

4.5 三角换元 56

4.6 对称置换 60

习题四 62

第五章 整体思维 64

5.1 整体观察 64

5.2 整体代入 66

5.3 整体变形 68

5.4 整体联想 69

5.5 整体配对 71

5.6 设而不求 72

5.7 合设方程 74

习题五 75

第六章 逆反思维 78

6.1 逆用定义 78

6.2 逆用公式 79

6.3 执果索因 80

6.4 反面思考 82

6.5 反客为主 84

6.6 反例否定 86

6.7 反证法 88

习题六 92

第七章 以退求进 94

7.1 从抽象退到具体 94

7.2 从一般退到特殊 96

7.3 从多退到少 99

7.4 从高维退到低维 101

7.5 从整体退到局部 104

习题七 107

8.1 分类讨论的动因和方法 109

第八章 分类讨论 109

8.2 简化分类讨论的常用策略 122

习题八 129

第九章 数形结合 132

9.1 利用“两点间的距离” 132

9.2 利用“点到直线的距离” 133

9.3 利用“平行线间的距离” 135

9.4 利用“直线的方程” 135

9.5 利用“直线的斜率” 136

9.6 利用“直线的截距” 137

9.7 利用“单位圆” 138

9.8 利用勾股定理构图 140

9.9 利用正余弦定理构图 141

9.10 利用二次曲线的定义 143

9.11 利用函数的图象 144

9.12 利用复数的几何意义 146

习题九 149

热点专题方法技巧 151

第十章 三角恒等变换技巧 151

10.1 切割化弦 151

10.2 角的拆变 153

10.3 “1”的变幻 155

10.4 变通公式 157

10.5 升幂与降次 158

10.6 平方消元 160

10.7 裂项添项 161

10.8 引入辅助角 163

10.9 设元转化 164

10.10 万能置换 166

习题十 168

第十一章 不等式证明的常用方法 171

11.1 比较法 171

11.2 基本不等式法 173

11.3 综合法 176

11.4 分析法 178

11.5 放缩法 180

11.6 数学归纳法 185

11.7 反证法 187

11.8 换元法 189

11.9 函数法 191

11.10 柯西不等式法 193

习题十一 196

12.1 数学归纳法的常用技巧 200

第十二章 归纳与递推 200

12.2 不完全归纳法与完全归纳法 208

12.3 递推数列 214

12.4 递推方法的应用 217

习题十二 221

第十三章 折叠、展开与割补 223

13.1 折叠问题 223

13.2 展开图形 231

13.3 割补技巧 237

习题十三 243

14.1 轴对称问题 247

第十四章 对称问题 247

14.2 中心对称问题 254

14.3 用对称思想解题 256

习题十四 260

第十五章 曲线系 264

15.1 直线系 264

15.2 圆系 266

15.3 二次曲线系 270

15.4 运用曲线系求最值 276

习题十五 277

第十六章 求最（极）值的常用方法 280

16.1 利用一次函数的单调性 280

16.2 利用二次函数的性质 281

16.3 利用二次方程的判别式 284

16.4 利用重要不等式 286

16.5 利用三角函数的有界性 288

16.6 利用参数换元 290

16.7 利用图形的对称性 292

16.8 利用二次曲线的切线 294

16.9 利用复数的性质 296

16.10 利用数形结合 297

习题十六 299

第十七章 轨迹方程的探求方法 303

17.1 直接法 303

17.2 定义法 306

17.3 相关点法 308

17.4 参数法 312

17.5 复数法 318

17.6 交轨法 321

习题十七 324

18.1 直接探求 327

第十八章 探索性问题的解题方法 327

18.2 观察推测 329

18.3 赋以特值 332

18.4 逆推反证 334

18.5 分类讨论 335

18.6 数形转化 337

18.7 类比联想 338

18.8 实验归纳 339

习题十八 340

19.1 增长率问题 343

第十九章 数学应用问题 343

19.2 利息和利润问题 345

19.3 产品设计问题 347

19.4 运输问题 349

19.5 面积问题 352

19.6 体（容）积问题 352

19.7 整点问题 354

19.8 逆反建模 356

19.9 递归问题………………………………………………（358 ）习题十九 359

习题答案与提示 362