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第1章 极限与连续 1

1.1极限 1

1.1.1数列及其简单性质 1

1.1.2数列的极限 3

1.1.3收敛数列的性质，极限的运算 7

1.1.4函数的极限 10

1.1.5有极限的函数的性质，函数极限的运算 16

习题1.1 18

1.2极限存在准则，两个重要极限 20

1.2.1极限存在的两条准则 20

1.2.2两个重要极限 21

习题1.2 25

1.3无穷小与无穷大 26

1.3.1无穷小量 26

1.3.2极限的另一种表述形式 27

1.3.3无穷小量的性质 27

1.3.4无穷小的比较 28

1.3.5无穷大量 30

习题1.3 32

1.4函数的连续性 33

1.4.1函数连续性的定义 33

1.4.2间断点及其分类 36

1.4.3连续函数的运算 38

1.4.4初等函数的连续性 40

1.4.5闭区间上的连续函数的性质 42

1.4.6一致连续性 44

习题1.4 45

第2章 导数与微分 47

2.1导数及其运算 47

2.1.1变化率问题 47

2.1.2导数的定义 48

2.1.3导数基本公式表 51

2.1.4导数的运算法则 55

2.1.5隐函数的导数 63

2.1.6参数方程所给定的函数的导数 65

2.1.7高阶导数 67

习题2.1 72

2.2微分及其应用 75

2.2.1微分的定义 75

2.2.2函数可微的条件 76

2.2.3微分的几何意义 78

2.2.4微分基本公式和微分法则 78

2.2.5一阶微分的形式不变性 79

2.2.6微分的应用 80

习题2.2 82

3.1.1罗尔定理 84

第3章 导数的应用 84

3.1中值定理 84

3.1.2拉格朗日中值定理 85

3.1.3柯西中值定理 88

习题3.1 88

3.2洛必达法则 90

3.2.1？的不定型 90

3.2.2？的不定型 92

3.2.3其他的不定型（0·∞、∞-∞、00、∞0、1∞） 93

习题3.2 95

3.3泰勒公式 96

习题3.3 99

3.4函数的单调性，极值 100

3.4.1函数的单调性 100

3.4.2函数的极值 102

3.4.3最大值与最小值 104

习题3.4 106

3.5曲线的凹凸性，拐点 107

3.5.1曲线的凹凸性 107

3.5.2曲线的拐点 109

习题3.5 110

3.6曲线的渐近线，函数作图 110

3.6.1曲线的渐近线 110

3.6.2函数作图 112

习题3.6 114

3.7平面曲线的曲率 114

3.7.1曲率的定义 114

3.7.2曲率的计算公式 115

习题3.7 116

3.8方程的近似解 117

3.8.1弦位法 117

3.8.2切线法（牛顿法） 119

习题3.8 120

4.1.1不定积分与原函数的概念 121

4.1不定积分与原函数 121

第4章 不定积分 121

4.1.2基本积分表 122

4.1.3不定积分的性质 124

习题4.1 125

4.2换元积分法，分部积分法 126

4.2.1第一换元法（凑微方法） 126

4.2.2第二换元法 129

4.2.3分部积分法 134

习题4.2 137

4.3几种特殊类型的积分 139

4.3.1有理函数的分解 139

4.3.2有理函数的积分 141

4.3.3三角函数有理式的积分 144

4.3.4简单无理函数的积分 146

4.3.5结束语 149

习题4.3 150

第5章 定积分及其应用 152

5.1定积分及其一般性质 152

5.1.1曲边梯形的面积，变力所做的功 152

5.1.2定积分的定义 153

5.1.3定积分的性质，中值定理 155

习题5.1 159

5.2.1用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分 160

5.2定积分的计算 160

5.2.2用换元法计算定积分 161

5.2.3用分部积分法计算定积分 165

5.2.4定积分的近似计算 167

习题5.2 171

5.3广义积分与函数Γ（x） 172

5.3.1无穷区间上的积分 172

5.3.2无界函数的积分 173

5.3.3函数Γ（x） 175

5.4定积分的应用 177

5.4.1微元法 177

习题5.3 177

5.4.2平面图形的面积 178

5.4.3截面面积为已知的立体的体积 181

5.4.4曲线的弧长与弧微分 184

5.4.5旋转面的表面积 188

5.4.6功，液体的压力 190

习题5.4 192

第6章 微分方程 194

6.1基本概念 194

6.1.1微分方程与它的阶 194

6.1.2微分方程的解与积分曲线 195

6.2.1可分离变量的微分方程 196

习题6.1 196

6.2变量分离的微分方程 196

6.2.2可化为变量分离的方程 199

习题6.2 202

6.3一阶线性微分方程 203

6.3.1一阶线性齐次方程 203

6.3.2一阶线性非齐次方程 204

6.3.3伯努利方程 206

习题6.3 207

6.4一阶微分方程应用举例 207

6.5.1方程y（n）＝f（x） 212

6.5几种特殊类型的高阶微分方程 212

习题6.4 212

6.5.2方程y″＝f（x，y′） 213

6.5.3方程y″＝f（y，y′） 215

习题6.5 217

6.6线性微分方程的解的结构 217

习题6.6 220

6.7常系数线性微分方程 220

6.7.1常系数线性齐次方程 220

6.7.2常系数线性非齐次方程 224

6.7.3欧拉方程 231

6.7.4应用举例 232

习题6.7 235

6.8差分方程简介 236

6.8.1差分，差分方程 236

6.8.2一阶常系数线性差分方程 237

6.8.3二阶常系数线性差分方程 239

6.8.4结束语 241

习题6.8 241

第7章 级数 242

7.1常数项级数 242

7.1.1收敛级数及其性质 242

7.1.2正项级数 247

7.1.3任意项级数 253

习题7.1 256

7.2函数项级数 258

7.2.1一般概念 258

7.2.2一致收敛的函数项级数 259

7.2.3一致收敛性的判别法 261

习题7.2 262

7.3幂级数 262

7.3.1幂级数的收敛半径 262

7.3.2幂级数的运算 266

7.3.3函数的幂级数展开 270

7.3.4幂级数的应用举例 275

7.3.5微分方程的幂级数解法简介 278

习题7.3 282

7.4傅里叶级数 284

7.4.1三角级数，三角函数系的正交性 284

7.4.2函数的傅里叶级数 285

7.4.3正弦级数与余弦级数 290

7.4.4函数在任意区间上的傅里叶级数 292

习题7.4 295

附录A 双曲函数 297

附录B 极坐标 300

附录C 复数 305

附录D 习题答案与提示 309