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5 无穷级数 1

5.1 数项级数 1

5.1.1 无穷级数的概念 1

5.1.2 级数的基本性质 3

5.1.3 正项级数的收敛判别法 4

5.1.4 任意项级数的收敛判别法 12

5.1.5 绝对收敛与条件收敛级数的性质 14

5.1.6 级数的乘法 18

5.1.7 级数收敛性的改进 20

习题1 22

5.2 无穷乘积 26

5.2.1 无穷乘积的概念 26

5.2.2 无穷乘积的性质 27

5.2.3 无穷乘积的收敛判别法 28

5.2.4 无穷乘积的绝对收敛性 30

习题2 31

5.3 函数项级数 32

5.3.1 收敛域 33

5.3.2 一致收敛的定义 35

5.3.3 一致收敛的判别法 38

5.3.4 一致收敛级数的和的性质 46

5.3.5 处处连续处处不可导函数的例子 50

习题3 52

5.4 幂级数 54

5.4.1 幂级数的收敛半径 55

5.4.2 幂级数的性质 58

5.4.3 函数展为幂级数 61

5.4.4 母函数 68

习题4 71

5.5 逼近定理 73

5.5.1 用多项式一致逼近连续函数 73

5.5.2 用三角多项式一致逼近连续函数 76

习题5 77

6 多元函数及其微分学 78

6.1 R2中的拓扑知识 78

6.1.1 开集和闭集 79

6.1.2 R2的完备性 82

6.1.3 R2的紧性 84

习题1 85

6.1.4 区域 85

6.2 多元函数及其连续性 87

6.2.1 多元函数的概念 87

6.2.2 多元函数的极限 88

6.2.3 多元函数的连续性 90

习题2 93

6.3 偏导数和全微分 96

6.3.1 多元函数对于向量的导数 96

6.3.2 方向导数和偏导数 98

6.3.3 全微分 101

6.3.4 复合函数求导法 104

习题3 107

6.4 隐函数存在定理 111

6.4.1 一个方程的情形 111

6.4.2 方程组的情形 114

习题4 116

6.5 Taylor公式与极值 118

6.5.1 Taylor公式 118

6.5.2 极值 121

6.5.3 Lagrange乘数法 125

习题5 129

6.6 Jacobi行列式的性质、函数相关性和多元凸函数 130

6.6.1 Jacobi行列式的性质 130

6.6.2 函数相关性 131

6.6.3 多元凸函数 134

习题6 135

6.7 曲线和曲面 136

6.7.1 空间曲线的切线及法平面 136

6.7.2 曲面的法线及切平面 137

6.7.3 曲面和曲线的隐表示 139

习题7 141

7 多元函数积分学 143

7.1 二重积分 143

7.1.1 零面积集 144

7.1.2 二重积分的定义 145

7.1.3 二重积分存在的充要条件 146

7.1.4 二重积分的等价定义 147

7.1.5 关于集函数 151

习题1 152

7.2 可积函数类和二重积分的性质 153

7.2.1 可积函数类 153

7.2.2 二重积分的性质 155

7.3 二重积分的计算 157

习题2 157

7.3.1 化二重积分为累次积分 158

7.3.2 二重积分的换元积分法 162

7.3.3 曲面面积 169

习题3 171

7.4 广义二重积分 174

7.4.1 无界区域上的广义二重积分 174

7.4.2 无界函数的广义二重积分 178

7.5 三重积分和n重积分 180

习题4 180

7.5.1 化三重积分为累次积分 181

7.5.2 三重积分的换元积分法 184

7.5.3 n重积分 187

7.5.4 重积分的物理应用举例 190

习题5 191

7.6 曲线积分和曲面积分 193

7.6.1 第一型曲线积分 194

7.6.2 第一型曲面积分 195

7.6.3 第二型曲线积分 197

7.6.4 Green公式 199

7.6.5 第二型曲面积分 201

7.6.6 Gauss公式和Stokes公式 204

7.6.7 微分与曲线积分的关系 208

习题6 211

7.7 场论初步 215

7.7.1 数量场的等值面和梯度 215

7.7.2 向量场的散度和旋度 217

7.7.3 有势场 222

7.7.4 无源场 224

习题7 226

7.8 外微分形式的积分 227

7.8.1 外微分形式的外积 227

7.8.2 外微分形式的微分 229

7.8.3 外微分形式的积分 229

习题8 230

8 含参变量积分 231

8.1 含参变量的常义积分 231

8.1.1 积分限是常数的情形 231

8.1.2 积分限含参变量的情形 233

习题1 235

8.2 含参变量的广义积分 236

8.2.1 一致收敛的定义 236

8.2.2 一致收敛的判别法 238

8.2.3 一致收敛积分的性质 241

8.2.4 两个重要的广义积分 246

习题2 248

8.3 Γ函数和B函数 249

8.4 大参数积分的渐近式 255

习题3 255

8.4.1 分部积分法 256

8.4.2 Γ函数的渐近式 257

8.4.3 局部化方法 260

习题4 260

9 Fourier级数 262

9.1 Fourier级数 263

9.1.1 Fourier级数 263

9.1.2 Dirichlet积分 264

9.1.3 Riemann引理 266

9.1.4 收敛判别法 269

9.1.5 把周期函数展开成Fourier级数 272

9.1.6 Fourier级数的复数形式 275

习题1 277

9.2 Fourier级数的均值求和 277

9.2.1 均值求和 278

9.2.2 Fejér定理 279

习题2 282

9.3.1 Fourier系数的最小性质 283

9.3.2 Parseval等式 283

9.3 最佳均方逼近 283

9.3.3 Fourier级数的逐项积分与微分 287

习题3 288

9.4 Fourier变换 289

9.4.1 Fourier积分公式 289

9.4.2 收敛定理 290

9.4.3 Fourier变换 292

习题4 295

习题提示摘要 297

跋 309

参考书目 310