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第一章 随机事件及其概率 1

1.1 随机现象是可以认识的 1

一、随机现象 1

二、随机现象的统计规律性 2

1.2 基本事件空间和随机事件 3

一、基本事件空间 3

二、事件 5

三、事件的关系及运算 9

1.3 随机事件的概率 15

一、统计定义 16

二、古典定义 19

三、几何概型 38

1.4 概率空间 42

一、概率的公理定义 42

二、概率的性质 48

三、几个常见的概率空间 55

1.5 条件概率 57

一、条件概率的定义 57

二、有关条件概率的三个定理 62

三、综合应用例题 68

1.6 统计独立性 73

一、两个事件的独立性 73

二、n个事件的独立性 75

三、独立事件概率的计算 79

1.7 独立试验概型 83

一、试验独立性的直观描述 83

二、复合试验E的基本事件空间 84

三、试验独立性的定义 84

四、独立试验概型 86

1.8 贝努里（Bernoulli）概型 87

一、贝努里试验 87

二、n重贝努里试验的概率空间 89

三、贝努里试验中的一些概率分布 89

习题 95

第二章 随机变量和它的分布 105

2.1 随机变量 105

一、随机变量的直观背景 105

二、反函数与可测函数 108

三、随机变量的定义 111

四、分布函数 113

2.2 离散型随机变量 116

一、离散型随机变量及其分布列 117

二、几种常见的离散型分布 119

2.3 连续型随机变量 131

一、连续型随机变量及其分布密度 131

二、几种常见的连续型分布 134

三、正态分布 139

2.4 分布函数的若干补充 144

一、分布函数的类型问题 144

二、奇异型分布 144

三、分布函数的勒贝格分解 145

四、分布函数的不连续点 147

五、随机变量的存在定理 147

2.5 随机向量及其分布 150

一、二维随机向量及其分布 151

二、n维随机向量及其分布 161

2.6 条件分布及随机变量的独立性 164

一、条件分布 164

二、随机变量的独立性 170

2.7 随机变量的函数及其分布 175

一、问题的实际背景和一般提法 175

二、单个随机变量的函数的分布 179

三、随机向量函数的分布 183

四、随机向量的换变及其联合分布 190

五、三种重要分布的推导 200

习题 206

第三章 数字特征与特征函数 219

3.1 数学期望与方差 219

一、引进数学期望与方差的直观背景 219

二、离散型与连续型分布的数学期望 220

三、一般随机变量的数学期望 226

四、方差 231

五、数学期望与方差的基本性质 234

3.2 随机向量的数字特征 239

一、随机向量的数学期望、方差与协方差 239

二、相关系数 248

三、条件数学期望 256

3.3 其它数字特征 263

一、矩 263

二、极差 266

3.4 特征函数 266

一、特征函数的定义及例题 267

二、特征函数的基本性质 272

三、特征函数与分布函数的一一对应 277

3.5 多元特征函数 283

一、定义与基本性质 283

二、多元正态分布 285

3.6 母函数 293

一、母函数的定义 293

二、母函数的性质 294

习题 297

第四章 极限定理 306

4.1 引言 306

4.2 各种收敛概念及它们之间的关系 307

一、分布函数列的弱收敛 307

二、随机变量序列的收敛 309

4.3 分布函数列与特征函数列 314

一、海菜（Helly）定理 314

二、两个重要的收敛定理 318

三、弱收敛的各种等价条件与连续性定理 318

4.4 大数定理 319

一、问题的一般提法 319

二、大数定律的证明及其应用 322

4.5 中心极限定理 328

一、问题的实际背景 328

二、德莫佛—拉普拉斯极限定理 332

三、德莫佛—拉普拉斯极限定理的若干应用 336

四、独立同分布情形的中心极限定理 345

4.6 中心极限定理（续） 351

一、林德贝格条件 352

二、林德贝格定理 355

习题 357

习题答案 361

参考书目 388

附录一 常用分布表 389

附录二 基本的组合分析公式 395

附表 399

表1 二项分布 399

表2 普阿松分布 405

表3 正态分布 409