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第一章 函数与极限 1

1.1 函数 1

一、邻域的概念 1

二、函数的概念及其表示法 2

三、函数的几种特性 4

四、反函数 7

五、复合函数 8

六、初等函数 9

七、常见的经济函数 11

1.2 极限的概念与性质 14

一、数列极限的定义与几何意义 14

二、收敛数列的主要性质 18

三、函数极限的定义与几何意义 23

四、函数极限的主要性质 26

1.3 极限的运算 28

一、极限的运算法则 28

二、两个重要极限 30

三、无穷小量与无穷大量 35

1.4 函数的连续性 39

一、函数连续性的概念 39

二、连续函数的运算与初等函数的连续性 42

三、函数的间断点 43

四、闭区间上连续函数的性质 44

习题一 47

第二章 导数与微分 53

2.1 导数概念 53

一、引例 53

二、导数的定义 54

三、导数的几何意义与物理意义 59

四、函数可导与连续的关系 60

2.2 导数的基本公式与运算法则 61

一、函数和、差、积、商的求导法则 62

二、反函数的求导法则 65

三、复合函数的求导法则 66

2.3 高阶导数 71

2.4 隐函数与参数式函数的导数 75

一、隐函数的导数 75

二、对数求导法 78

三、参数式函数的导数 79

四、极坐标表示的曲线的导数 80

五、相关变化率 80

2.5 函数的微分 83

一、微分的概念 83

二、微分的几何意义 85

三、微分的运算 86

四、微分形式不变性 87

五、微分在近似计算中的应用 88

习题二 89

第三章 中值定理与导数的应用 95

3.1 微分中值定理 95

一、罗尔定理 95

二、拉格朗日中值定理 98

三、柯西中值定理 101

3.2 泰勒公式 102

3.3 洛必达法则 108

一、基本未定式0/0型或∞/∞型的极限 109

二、其他未定式 112

3.4 函数单调性的判别法 113

3.5 函数的极值及其求法 116

3.6 曲线的凹向与拐点 120

3.7 曲线的渐近线 123

一、水平渐近线 123

二、垂直渐近线 123

三、斜渐近线 124

3.8 函数图形的描绘 125

3.9 函数的最值 127

3.10 导数在经济分析中的应用 129

一、导数的经济意义 129

二、弹性 131

三、优化与微分模型 134

习题三 138

第四章 不定积分 146

4.1 不定积分的概念与性质 146

一、原函数 146

二、不定积分的概念 147

三、不定积分的基本性质 148

四、基本积分公式 149

4.2 不定积分的换元积分法 151

一、第一类换元法（凑微分法） 151

二、第二类换元法（变量代换法） 155

4.3 不定积分的分部积分法 158

4.4 几种特殊类型函数的积分 161

一、有理函数的积分 161

二、三角函数有理式∫R（sin x，cos x）dx型的积分 165

习题四 166

第五章 定积分 171

5.1 定积分的概念与性质 171

一、引例 171

二、定积分的定义 173

三、定积分的几何意义 174

四、定积分的性质 175

5.2 微积分基本定理 178

一、积分上限函数及其导数 178

二、微积分基本定理 181

5.3 定积分的换元积分法 184

5.4 定积分的分部积分法 188

5.5 广义积分 190

一、无穷限的广义积分 190

二、无界函数的广义积分 193

三、广义积分敛散性判别法 195

四、Г-函数 201

习题五 202

第六章 定积分的应用 209

6.1 定积分的微元法 209

6.2 定积分的几何应用 210

一、平面图形的面积 210

二、立体的体积 214

三、平面曲线的弧长 218

6.3 定积分在经济上的应用 221

一、由边际函数求总函数 221

二、资金现值与投资问题 223

三、消费者剩余和生产者剩余 224

习题六 226

第七章 空间解析几何 229

7.1 空间直角坐标系 229

7.2 空间向量及其应用 231

一、向量的概念 231

二、向量的运算 232

三、方向角、方向余弦以及向量在轴上的投影 233

7.3 数量积 向量积 混合积 236

一、两向量的数量积 236

二、两向量的向量积 239

三、向量的混合积 242

7.4 空间平面及其方程 243

一、平面的点法式和一般方程 243

二、两平面的夹角 246

7.5 空间直线及其方程 247

一、空间直线及其方程 247

二、两直线的夹角 250

三、直线与平面的夹角 251

7.6 空间曲面及其方程 254

一、曲面方程的概念 254

二、旋转曲面 255

三、柱面 256

7.7 空间曲线及其方程 257

一、空间曲线的一般方程 257

二、空间曲线的参数方程 257

三、空间曲线在坐标面上的投影 258

7.8 二次曲面 259

一、柱面 260

二、椭球面 261

三、双曲面 262

四、锥面 264

五、抛物面 265

习题七 266

第八章 多元函数的微分法及其应用 270

8.1 多元函数的基本概念 270

一、点集和区域 270

二、多元函数的概念 273

三、多元函数的极限 274

四、累次极限 277

五、多元连续函数及其性质 278

8.2 偏导数 280

一、一阶偏导数的定义及其计算 280

二、二阶偏导数的概念及其计算 283

8.3 全微分及其应用 287

一、多元函数全微分的定义及其计算 287

二、近似计算 290

8.4 多元复合函数的求导法则 291

一、多元复合函数的求导法则 291

二、一阶全微分形式不变性 294

8.5 方向导数与梯度 295

一、方向导数 295

二、梯度 298

三、数量场与向量场 299

8.6 隐函数的求导法则 300

一、单个方程情形 300

二、方程组情形 305

8.7 空间曲线的切线与空间曲面的切平面方程 308

一、空间曲线的切线与法平面 308

二、空间曲面的切平面与法线 310

8.8 多元函数的极值和最值 312

一、无条件极值 312

二、最值问题 314

三、条件极值问题和拉格朗日乘子法 317

8.9 偏导数在经济学中的应用 320

一、偏导数的经济意义 320

二、经济应用举例 323

习题八 325

第九章 重积分 331

9.1 二重积分的概念与性质 331

一、二重积分的定义 331

二、二重积分的性质 333

9.2 二重积分的计算 336

一、利用直角坐标计算二重积分 336

二、利用极坐标计算二重积分 340

三、二重积分的换元法 344

9.3 三重积分及其计算 346

一、引例 346

二、三重积分的定义 346

三、三重积分的计算 347

四、三重积分的积分变换 354

9.4 重积分的应用 356

一、曲面的面积 356

二、重心 358

三、转动惯量 359

四、引力 360

习题九 361

第十章 曲线积分与曲面积分 367

10.1 对弧长的曲线积分 367

一、引例 367

二、对弧长的曲线积分定义 368

三、性质 368

四、对弧长积分的计算 369

10.2 对坐标的曲线积分 372

一、引例 372

二、对坐标的曲线积分的性质 374

三、对坐标的曲线积分的计算 375

四、两类曲线积分的联系 379

10.3 格林公式 380

10.4 对面积的曲面积分 388

一、对面积的曲面积分 389

二、对面积的曲面积分的计算 390

10.5 对坐标的曲面积分 393

一、对坐标的曲面积分的概念和性质 393

二、对坐标的曲面积分的计算 396

10.6 两类曲面积分之间的联系 399

10.7 高斯公式 通量与散度 401

一、高斯公式 401

二、通量与散度 406

10.8 斯托克斯公式 环流量与旋度 408

一、斯托克斯公式 408

二、环流量与旋度 412

三、空间曲线与路径的无关性 413

习题十 415

第十一章 级数 419

11.1 级数的概念及其性质 419

一、无穷级数的概念 419

二、无穷级数收敛的条件 421

三、收敛级数的基本性质 423

11.2 正项级数的敛散性判别法 426

一、正项级数 426

二、正项级数敛散性判别法 428

11.3 条件收敛与绝对收敛 435

一、交错级数 435

二、条件收敛与绝对收敛 437

11.4 幂级数 440

一、函数项级数的概念 440

二、幂级数及其收敛性 441

三、幂级数的运算 446

11.5 函数展开成幂级数 448

一、泰勒级数 448

二、初等函数的幂级数展开式 452

11.6 傅里叶级数 457

一、三角级数及三角函数系的正交性 457

二、函数的傅里叶级数 458

三、正弦级数和余弦级数 464

四、一般周期函数的傅里叶级数 466

习题十一 469

第十二章 微分方程与差分方程 474

12.1 微分方程的基本概念 474

一、引例 474

二、基本概念 476

12.2 一阶微分方程 478

一、可分离变量的微分方程 479

二、齐次微分方程 481

三、一阶线性微分方程 485

四、伯努利方程 489

12.3 全微分方程 490

12.4 可降阶的微分方程 496

一、y（n）＝f（x）型微分方程 496

二、y″＝f（x，y′）型微分方程 497

三、y″＝f（y，y′）型微分方程 498

12.5 线性微分方程解的结构 499

12.6 二阶常系数线性微分方程 503

一、二阶常系数齐次线性微分方程 503

二、二阶常系数非齐次线性微分方程 508

12.7 差分与差分方程的概念 515

一、差分的概念 515

二、差分方程的概念 518

三、常系数线性差分方程解的结构 520

12.8 一阶常系数线性差分方程 521

一、一阶常系数线性齐次差分方程 521

二、一阶常系数线性非齐次差分方程 522

12.9 二阶常系数线性差分方程 526

一、二阶常系数线性齐次差分方程 526

二、二阶常系数线性非齐次差分方程 528

12.10 微分方程和差分方程在经济学中的应用 532

一、微分方程在经济学中的应用 532

二、差分方程在经济学中的应用 535

习题十二 539

习题参考答案 549

参考文献 583