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1行列式 1

1.1集合与数域 1

1.1.1集合 1

1.1.2数域 3

1.2排列、逆序与对换 4

1.2.1排列与逆序 4

1.2.2对换 5

1.3n阶行列式的定义 6

1.4n阶行列式的性质 9

1.5行列式的计算 12

1.5.1化为上三角形行列式 12

1.5.2按一行（列）展开 14

1.6Laplace定理行列式的乘法规则 21

1.6.1子式及其余子式 21

1.6.2Laplace定理 22

1.6.3行列式的乘法规则 25

1.7Cramer法则 27

习题1 30

2向量和向量空间 34

2.1向量的几何概念和运算 34

2.1.1向量的加法 35

2.1.2数乘向量 36

2.1.3向量的减法 36

2.2共线、共面向量和向量的线性关系 38

2.2.1向量的线性关系 38

2.2.2向量共线、共面的条件 39

2.3空间坐标系和向量的分量表示 40

2.3.1空间直角坐标系和仿射坐标系 40

2.3.2向量在坐标系中的分量表示 42

2.4n维向量空间 46

2.4.1n维向量的概念和运算 46

2.4.2n维向量的线性关系 48

2.4.3向量组的秩和极大线性无关子组 51

习题2 53

3矩阵 58

3.1矩阵的概念和运算 58

3.1.1矩阵的定义和一些常见的矩阵 58

3.1.2矩阵的运算 60

3.1.3矩阵的转置 64

3.1.4矩阵应用浅谈 65

3.2方阵的行列式和逆阵 67

3.3矩阵分块及其运算 70

3.3.1矩阵分块运算的规则 71

3.3.2准对角矩阵 73

3.4矩阵的秩 75

3.5矩阵的初等变换 83

3.5.1矩阵的初等变换和初等矩阵 83

3.5.2矩阵的相抵、用初等变换求矩阵的秩和逆阵 86

习题3 94

4线性方程组 99

4.1Gauss（高斯）消去法 99

4.2线性方程组相容性的讨论 106

4.3线性方程组解的结构 109

4.3.1齐次线性方程组的基础解系 110

4.3.2非齐次线性方程组解的结构 114

习题4 116

5平面和直线 121

5.1三维几何向量的数积 121

5.1.1数积的定义和运算律 121

5.1.2直角坐标系下数积的分量表示 123

5.2三维几何向量的矢积和混合积 125

5.2.1矢积的定义和运算律 125

5.2.2直角坐标系下矢积的分量表示 127

5.2.3混合积 129

5.3平面的方程 131

5.3.1仿射坐标系下平面的参数式和一般式方程 131

5.3.2直角坐标系下平面的点法式方程 136

5.4有关平面的一些问题 138

5.4.1向量平行于平面的条件 138

5.4.2两平面平行、重合或相交的条件 139

5.4.3平面束 140

5.4.4平面到点的有向距离 142

5.4.5两平行平面的距离和等距面方程 144

5.4.6两相交平面的夹角和等分角平面方程 145

5.5直线的方程 146

5.6有关直线的一些问题 149

5.6.1直线上点与参数的对应、有向线段的定比分割 150

5.6.2两直线相错、相交或平行的条件 152

5.6.3两直线的夹角 154

5.6.4相错直线的公垂线 154

5.6.5直线和平面的相对位置 156

5.6.6点到直线的距离 158

5.7平面和直线作为线性方程组的几何解释 158

5.7.1平面与平面的相对位置 158

5.7.2线性方程组的几何解释 161

习题5 162

6几种常见的曲面 170

6.1曲面和曲线的方程 170

6.2柱面 174

6.3锥面 177

6.4旋转曲面 181

6.5椭圆面、双曲面和抛物面 185

6.5.1椭圆面 185

6.5.2双曲面 187

6.5.3抛物面 190

习题6 193

7线性空间和坐标变换 196

7.1线性空间的概念 196

7.2维数、基底和坐标 199

7.3基变换和坐标变换 202

7.4三维几何空间中的仿射坐标变换与直角坐标变换 206

7.5线性子空间 213

7.5.1线性子空间的概念 213

7.5.2子空间的交与和 216

7.5.3子空间的直和 219

习题7 221

8线性变换 226

8.1集合的映射 226

8.2线性变换的概念 227

8.2.1线性变换的定义、例题和几个简单性质 227

8.2.2线性变换的值域与核 230

8.3线性变换的矩阵 233

8.3.1线性变换在给定基下的矩阵 233

8.3.2线性变换在不同基下矩阵的关系 237

8.4线性变换的运算 240

8.5仿射变换 246

习题8 250

9二次曲面的仿射理论 255

9.1二次曲面与直线的交点、切平面和奇点 256

9.1.1二次曲面与直线的交点 256

9.1.2切平面和奇点 258

9.2二次曲面的渐近方向和中心 261

9.2.1渐近方向和非渐近方向 262

9.2.2中心 262

9.3直径面、奇向和共轭方向 266

9.3.1直径面 266

9.3.2奇向 269

9.3.3共轭方向和共轭直径 271

9.4仿射坐标系下二次曲面的标准方程 272

习题9 280

10二次型 283

10.1二次型的标准形和规范形 283

10.1.1n元二次型的概念 283

10.1.2二次型的标准形 285

10.1.3二次型的规范形 288

10.2有定和不定二次型 291

10.2.1正定二次型和正定矩阵 291

10.2.2负定、半正定、半负定和不定二次型 296

10.2.3二次型有定和不定在多元函数极值问题中的应用 297

10.3厄米特（Hermitc）二次型 299

习题10 302

11欧氏空间和正交变换 306

11.1内积和欧氏空间的概念 306

11.2标准正交基和正交矩阵 312

11.2.1标准正交基 312

11.2.2正交矩阵 316

11.3子空间的正交关系、最小二乘法问题 320

11.3.1正交子空间和正交补 320

11.3.2向量到子空间的距离、用最小二乘法解矛 322

盾线性方程组 322

11.4正交变换、刚体运动和镜面反射 327

11.4.1正交变换及其性质 327

11.4.2刚体运动 330

11.4.3镜面反射 334

11.5酉空间和酉变换 335

11.5.1酉空间 335

11.5.2酉矩阵和酉变换 338

习题11 339

12特征值、特征向量、矩阵对角化及其应用 344

12.1特征值和特征向量 344

12.2矩阵的对角化 350

12.3不变子空间 357

12.4实对称矩阵的标准形和二次型的主轴问题 360

12.4.1用正交矩阵化实对称阵为对角阵 361

12.4.2用正交变换化实二次型为标准形 366

12.4.3酉空间的主轴问题 367

12.5直角坐标系下二次曲面的标准方程 370

习题12 381

13多项式 386

13.1一元多项式的概念和运算 386

13.2最大公因式 390

13.3因式分解和多项式的根 394

13.4复系数、实系数和有理系数多项式的根 398

13.4.1复系数和实系数多项式的根 398

13.4.2有理系数多项式的有理根 400

习题13 403

14多项式矩阵和矩阵的标准形 406

14.1多项式矩阵的概念及其运算 406

14.2多项式矩阵的Smith标准形及其唯一性 408

14.3矩阵相似与特征矩阵相抵的关系 415

14.4初等因子和矩阵的Jordan标准形 417

14.4.1初等因子 417

14.4.2矩阵的Jordan标准形 419

习题14 425

15矩阵分析 429

15.1向量和矩阵的范数 429

15.1.1向量的范数 429

15.1.2方阵的范数 433

15.2向量和矩阵序列的极限 439

15.2.1向量序列的极限 439

15.2.2矩阵序列的极限 440

15.3函数矩阵的导数与积分 443

15.4矩阵级数和幂级数 445

15.4.1矩阵级数 445

15.4.2方阵的幂级数 447

15.5矩阵函数 451

习题15 461