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第1章 绪论 1

1.1 数值型算法的特点 1

1.2 误差与运算误差分析 4

1.3 三项递推关系的稳定性 16

1.4 交多项式 22

1.4.1 正交多项式的基本概念 22

1.4.2 几个常用的正交多项式 23

1.4.3 正交多项式的构造 33

习题1 35

第2章 线性代数方程组与矩阵运算 38

2.1 线性代数方程组的直接解法 39

2.1.1 高斯消去法 39

2.1.2 高斯-若尔当消去法 49

2.2 带状方程组 56

2.2.1 三对角方程组 56

2.2.2 一般带状方程组 59

2.3 线性代数方程组的迭代解法 66

2.3.1 简单迭代法 66

2.3.2 高斯-赛德尔迭代法 70

2.3.3 松弛法 73

2.4 共轭梯度法及其基本概念 74

2.4.1 几个基本概念 74

2.4.2 共轭梯度法 75

2.5 矩阵分解 82

2.5.1 LU分解 82

2.5.2 乔里斯基分解 87

2.5.3 QR分解 88

2.6 矩阵求逆 95

2.6.1 原地工作的矩阵求逆 96

2.6.2 全选主元 100

2.7 特普利兹系统 108

2.7.1 求解特普利兹型线性代数方程组的递推算法 108

2.7.2 特普利兹矩阵的求逆 113

2.8 关于病态系统 121

习题2 122

第3章 矩阵特征值 125

3.1 关于矩阵特征值与特征向量的基本概念 125

3.2 计算绝对值最大的特征值的乘幂法 128

3.3 求对称矩阵特征值与特征向量的雅可比方法 134

3.4 求对称矩阵特征值与特征向量的豪斯荷尔德方法 145

3.4.1 用豪斯荷尔德变换将一般实对称矩阵约化成对称三对角矩阵 146

3.4.2 确定对称三对角矩阵的特征值 149

3.5 求一般实矩阵全部特征值的QR方法 153

3.5.1 用初等相似变换将一般实矩阵约化成上H矩阵 154

3.5.2 QR方法确定上H矩阵的特征值 157

3.5.3 QR方法求多项式方程的全部根 164

习题3 165

第4章 非线性方程与方程组 167

4.1 方程求根的基本过程 167

4.2 对分法与试位法 169

4.2.1 对分法 169

4.2.2 试位法 173

4.3 逐次代入法 175

4.3.1 简单迭代法 175

4.3.2 艾特肯迭代法 179

4.4 牛顿迭代法与插值法 182

4.4.1 牛顿迭代法 182

4.4.2 插值法 185

4.5 控制迭代过程结束的条件 186

4.6 非线性方程组的求解 188

4.6.1 梯度法 188

4.6.2 拟牛顿法 191

习题4 198

第5章 代数插值 200

5.1 插值的基本概念 200

5.2 拉格朗日插值法 203

5.2.1 拉格朗日插值多项式的构造 203

5.2.2 插值多项式的余项 208

5.2.3 插值的逼近性质 210

5.3 艾特肯逐步插值法 212

5.4 牛顿插值法 217

5.4.1 差商与牛顿插值公式 217

5.4.2 差分与等距结点插值公式 221

5.5 厄米特插值法 224

5.6 样条插值法 227

5.6.1 样条函数的概念 227

5.6.2 三次样条插值函数的构造 228

习题5 247

第6章 函数逼近与曲线拟合 250

6.1 均方逼近 250

6.1.1 均方逼近的基本概念 250

6.1.2 最佳均方逼近多项式 250

6.2 最小二乘曲线拟合 253

6.2.1 最小二乘曲线拟合的基本概念 253

6.2.2 线性拟合 254

6.2.3 多变量线性拟合 261

6.2.4 一般多项式拟合 267

6.2.5 用正交多项式进行最小二乘曲线拟合 269

6.3 一致逼近 275

6.3.1 一致逼近的基本概念 275

6.3.2 最佳一致逼近多项式 276

6.3.3 列梅兹算法 279

习题6 284

第7章 数值积分与数值微分 286

7.1 牛顿-科兹积分公式 287

7.2 变步长求积法 290

7.2.1 变步长梯形求积法 290

7.2.2 变步长辛普森求积法 293

7.3 龙贝格求积法 296

7.4 高斯求积法 299

7.4.1 代数精度的概念 299

7.4.2 高斯求积法 301

7.4.3 几种常用的高斯求积公式 304

7.5 高振荡函数的求积法 310

7.6 数值微分 318

7.6.1 差分公式 318

7.6.2 理查森外推法 320

7.6.3 拉格朗日微分公式 323

习题7 325

第8章 常微分方程数值解 327

8.1 常微分方程初值问题数值解的基本思想 328

8.2 欧拉方法 330

8.3 龙格-库塔法 335

8.4 一阶微分方程组与高阶微分方程 339

8.5 线性多步法 347

8.5.1 阿当斯方法 347

8.5.2 汉明方法 352

8.6 常微分方程边值问题数值解 358

8.6.1 试射法 358

8.6.2 有限差分法 363

8.7 刚性微分方程 368

习题8 370

第9章 连分式及其新计算法 372

9.1 连分式 372

9.1.1 连分式的基本概念 372

9.1.2 函数连分式的基本概念 374

9.1.3 函数连分式的计算 375

9.2 连分式插值法 377

9.2.1 连分式插值的基本概念 377

9.2.2 连分式插值函数的构造 377

9.2.3 连分式逐步插值 381

9.3 方程求根的连分式解法 382

9.4 一维积分的连分式解法 386

9.5 常微分方程初值问题的连分式解法 391

习题9 397

附录A 习题参考答案 398

参考文献 407