线性算子谱理论及其应用PDF电子书下载

第1章 线性算子及其谱 1

1.1线性算子的定义 1

1.2预解算子 7

1.3线性算子的谱 9

1.4谱的其他分类 11

第2章 正常算子与自伴算子的谱分解 19

2.1投影算子 19

2.2谱族（谱测度）和谱积分（算子积分） 22

2.2.1定义在实轴上的谱族 22

2.2.2定义在Borel集上的谱族 28

2.2.3 ψ（x）是Borel可测函数时的算子表示 32

2.3正常算子的谱分解 36

2.3.1有界正常算子的谱分解 36

2.3.2无界正常算子的谱分解 38

2.4正常算子的谱 42

2.5自伴算子的谱分解 47

2.5.1对称算子 47

2.5.2自伴算子的谱分解 49

2.5.3自伴算子的谱 51

2.5.4紧自伴算子 55

第3章 对称算子的自伴扩张及其谱 58

3.1对称算子的扩张 58

3.1.1问题的提出 58

3.1.2对称算子的亏子空间和亏指数 58

3.1.3 Cayley变换 60

3.1.4共轭算子的定义域 62

3.1.5 Neumann公式 64

3.1.6对称算子的对称扩张的描述 67

3.1.7举例 70

3.2对称算子的扩张算子的谱 75

3.2.1谱核 76

3.2.2两个子空间的张度 78

3.2.3半有界算子的扩张 82

3.3线性算子的扰动 84

3.3.1稠定算子的扰动 85

3.3.2自伴算子的扰动 88

3.4自伴算子的谱集在扰动下的变化 92

3.5自伴算子的直和分解及双线性型 95

3.5.1自伴算子的直和分解 95

3.5.2共轭双线性型 96

第4章 C-对称算子和C-自伴算子 104

4.1引言 104

4.2有界C-对称算子 105

4.2.1 C-算子 105

4.2.2有界C-对称算子性质 106

4.2.3 C-对称算子的结构 109

4.2.4 C-对称算子的变差原理 113

4.3 C-对称算子的特征结构 118

4.3.1特征值与特征子空间 118

4.3.2迷向特征向量及其重数 123

4.3.3拟幂零向量 124

4.3.4 C-对称算子的对角化 125

4.3.5特征向量的Riesz基 127

4.4无界C-对称算子 128

4.4.1 C-自伴算子谱的结构 128

4.4.2半线性特征展开 130

4.4.3 C-自伴算子的本质谱 132

第5章 J-对称算子和J-自伴算子 136

5.1 J-对称算子的亏指数 136

5.1.1算子的亏指数 136

5.1.2 J-对称算子与J-自伴算子的基本概念和性质 137

5.2 J-对称算子的扩张 140

5.3J-对称微分算子的J-自伴扩张 148

5.4 J-对称算子J-自伴扩张的谱 151

5.5 J-自伴微分算子的谱 154

5.5.1历史背景 154

5.5.2基本引理和相关不等式 155

5.5.3常系数J-对称微分算子及其相关摄动的本质谱 157

5.5.4常系数Euler微分算子及其相关摄动的本质谱 161

5.5.5具有可积系数的二阶J-对称微分算子的本质谱 167

5.5.6高阶J-自伴微分算子谱离散的充分条件 171

5.5.7二阶情形 175

第6章 非自伴算子的谱分解 178

6.1非自伴紧算子 178

6.2 Hilbert-Schmidt型算子 180

6.3 Hilbert-Schmidt型算子根空间的完备性 185

6.3.1 Hilbert-Schmidt型算子乘幂的迹 185

6.3.2 Hilbert-Schmidt型算子根子空间系的完备性 189

6.4耗散算子及其根子空间系的完备性 192

6.5增生算子 200

6.6无界算子 203

6.6.1具有紧逆的无界算子 203

6.6.2半有界对称算子 205

6.6.3微分算子中的应用 210

6.7耗散的Sturm-Liouville算子及其根空间的完备性 217

6.7.1耗散的Sturm-Liouville算子 217

6.7.2耗散的Sturm-Liouville算子根空间的完备性 222

第7章 二阶非自伴微分算子 228

7.1基本概念 228

7.2方程l（y）=λy解的近似公式 233

7.2.1关于积分方程的一些引理 233

7.2.2方程l（y）=λy的解系 235

7.2.3 y1（x，s），y2（x，s），y3（x，s）的渐近估计（当x→∞时） 238

7.2.4 y1（x，s），y2（x，s），y3（x，s）的渐近估计（当s→∞时） 240

7.3算子Lθ的预解算子及其谱 245

7.3.1算子Lθ在上半平面（？s≥0）的特征值 245

7.3.2 Lθ的预解算子及Lθ的谱 247

7.3.3特殊情形 255

7.4正则边值问题 257

7.4.1正则边值问题的特征值 257

7.4.2边值问题特征值的渐近表示 259

7.4.3 正则边值问题的特征函数的渐近表示 264

7.5正则边值问题的预解算子 269

7.5.1偶数阶微分算子的预解算子 269

7.5.2二阶正则边值问题的预解算子 274

7.6 Lθ的特征展开 276

7.6.1曲线Cm，q 277

7.6.2在Cm，q上边值问题的预解算子 277

7.6.3 Lθ的预解算子核的积分表示 279

7.6.4 Lθ的特征函数展开 283

7.7具有谱奇异点的微分算子 291

参考文献 293

索引 305