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第一篇 微积分 3

第一章 预备知识与函数 3

1.1 预备知识 3

一、实数与数轴 3

二、实数的绝对值 3

三、区间 4

1.2 函数 5

一、函数的定义 5

二、函数的性质 8

三、反函数 10

四、基本初等函数 11

五、复合函数 16

第一章 习题 18

第二章 极限与连续 22

2.1 极限的概念 22

一、数列极限的定义 22

二、函数极限的定义 23

2.2 无穷大量与无穷小量 25

一、无穷大量 25

二、无穷小量 25

三、无穷大量与无穷小量的关系 26

四、无穷小量阶的比较 26

2.3 极限计算 26

一、利用极限的四则运算法则 26

二、直接代入法 27

三、利用有界变量与无穷小量的乘积 27

四、倒数法 27

五、约去零因式法 27

六、无穷小量分出法 28

七、通分法 29

八、有理化法 29

九、变量代换法 30

十、利用?=1计算相关极限 30

十一、利用?=e计算相关极限 31

十二、利用等价无穷小替换求极限 31

2.4 函数的连续性 33

一、函数的改变量 33

二、函数在一点连续的定义 34

三、连续函数与连续区间 36

四、初等函数的连续性 36

五、分段函数的连续性 36

六、闭区间上连续函数的性质 37

2.5 应用实例 39

一、存贷款利息计算 39

二、自然增长模型 41

第二章习题 41

第三章 导数与微分 47

3.1 导数概念 47

一、实例 47

二、导数的定义 48

三、导数的几何意义 49

四、左导数与右导数 50

五、可导与连续的关系 51

3.2 求导数的方法 52

一、基本初等函数求导公式 52

二、导数运算法则 53

三、反函数求导法则 54

四、复合函数求导法则（链式求导法则） 55

五、隐函数求导法 57

六、对数求导法 57

七、高阶导数 59

3.3 微分 60

一、微分的定义 60

二、导数与微分的关系 61

三、微分的几何意义 62

四、微分计算 62

五、微分的应用——近似计算 64

第三章习题 64

第四章 导数应用 68

4.1 导数应用——洛必达法则 68

一、0/0型未定式 68

二、8/8型未定式 69

三、其他类型的未定式 70

4.2 函数的单调性和极值 72

一、函数单调性 72

二、函数的极值 75

4.3 最值及其应用 78

一、闭区间上函数的最值 78

二、最值的应用 79

4.4 函数图形的描绘 84

一、曲线的凹凸性和拐点 84

二、曲线的渐近线 86

三、函数图形的描绘 88

4.5 导数在经济学中的应用 90

一、边际分析 90

二、弹性分析 92

三、相关变化率 94

四、最小二乘法 95

第四章习题 100

第五章 不定积分 106

5.1 不定积分的概念 106

一、原函数 106

二、不定积分的概念 107

三、不定积分的几何意义 107

5.2 不定积分的性质 108

5.3 基本积分公式 109

5.4 换元积分法 111

一、第一类换元法（复合函数凑微分法） 111

二、第二类换元法 115

5.5 分部积分法 120

第五章习题 122

第六章 定积分 125

6.1 定积分的概念和性质 125

一、从阿基米德的穷竭法谈起 125

二、曲边梯形的面积计算 126

三、定积分的概念 127

四、定积分的存在定理 128

五、定积分的性质 129

6.2 微积分基本定理 132

一、积分上限函数及其导数 132

二、微积分基本定理 133

6.3 定积分的计算方法 134

一、定积分的凑微分法 134

二、定积分的换元法 135

三、定积分的分部积分法 137

6.4 广义积分 138

一、无穷区间的广义积分 138

二、无界函数的广义积分 140

6.5 积分的应用 142

一、求原函数 142

二、求平面图形的面积 143

三、求旋转体的体积 144

四、求总量 145

五、求资产的未来价值与现行价值 147

第六章习题 150

第七章 微分方程初步 157

7.1 微分方程的基本概念 157

7.2 可分离变量的一阶微分方程 159

7.3 一阶线性微分方程 161

一、一阶线性微分方程的概念 161

二、一阶线性齐次方程的解法 161

三、一阶线性非齐次方程的解法 162

7.4 可降阶的二阶微分方程 164

一、y"=f(x）型的二阶微分方程 164

二、y"=f(x,y')（不显含未知函数y）型的二阶微分方程 165

三、y"=f(y,y')（不显含自变量x）型的二阶微分方程 165

7.5 微分方程的应用 166

第七章习题 171

第二篇 线性代数第一章 行列式 177

1.1 行列式的定义 177

一、二阶行列式 177

二、三阶行列式 178

三、n阶行列式 180

1.2 行列式的性质与计算 182

一、行列式的基本性质 182

二、行列式按某一行（列）展开 186

第一章 习题 189

第二章 矩阵 192

2.1 矩阵的定义 192

2.2 矩阵的运算 193

一、矩阵的加法 193

二、数与矩阵相乘 194

三、矩阵与矩阵相乘 194

四、矩阵的逆 196

2.3 矩阵的初等变换 197

第二章 习题 200

第三章 线性方程组 203

3.1 解线性方程组的克拉默法则 203

3.2 解线性方程组的初等变换法 207

第三章 习题 211

第四章 线性代数的应用 213

4.1 行列式的应用 213

4.2 矩阵的应用 214

4.3 线性方程组的应用 218

一、交通流量模型 218

二、在解析几何中的应用 220

三、人口迁移模型 221

四、梳头定理 222

第三篇 概率论与数理统计第一章 随机事件及概率 227

1.1 随机事件 227

一、随机现象 227

二、随机试验 227

三、样本空间 228

四、随机事件 228

五、事件的集合表示 228

六、事件的关系及其运算 229

七、事件的运算律 231

1.2 随机事件的概率 233

一、概率的统计定义 233

二、概率的古典定义 234

三、概率的公理化定义 235

1.3 条件概率 237

一、条件概率 237

二、乘法公式 238

三、全概率公式和贝叶斯公式 239

1.4 事件的独立性 240

第一章 习题 242

第二章 随机变量及其分布 245

2.1 随机变量 245

2.2 离散型随机变量及其分布 246

2.3 随机变量的分布函数 248

一、随机变量的分布函数 248

二、离散型随机变量的分布函数 249

2.4 连续型随机变量及其分布 250

2.5 随机变量函数的分布 257

一、随机变量的函数 257

二、离散型随机变量函数的分布 257

三、连续型随机变量函数的分布 258

第二章 习题 258

第三章 随机变量的数字特征 264

3.1 随机变量的数学期望 264

一、数学期望的定义 264

二、随机变量函数的数学期望 267

三、随机变量数学期望的性质 268

3.2 方差 269

一、方差的概念 269

二、随机变量的方差的性质 271

三、常见分布的期望和方差 271

第三章习题 272

第四章 数理统计初步 275

4.1 总体与样本 275

一、总体与样本 275

二、样本与简单随机样本 275

4.2 抽样分布 276

一、统计量 276

二、常用的统计量 276

二、抽样分布 277

四、几个重要的抽样分布定理 277

4.3 统计推断 278

一、参数估计 278

二、点估计方法 278

三、区间估计 279

四、假设检验 282

第四章习题 287

第五章 概率论的应用 289

附表 294

附表1 标准正态分布表 294

附表2 泊松分布表 296

附表3 t分布表 298

附表4 X2分布表 300

习题参考答案 302

第一篇 微积分 302

第二篇 线性代数 311

第三篇 概率论与数理统计 314