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第1章 量子力学的基本概念 1

1-1物质的波粒二象性 1

1.光的粒子性 1

2.电子的波动性 4

3.光子双缝干涉实验、不确定性关系和退相干原理 5

1-2 Stern-Gerlach实验 7

1.Stem-Gerlach实验与Uhlenbeck-Goudsmit假设 7

2.多级Stem-Gerlach实验 11

3.复空间 13

1-3.量子力学的态空间与可观察量 14

1.右矢空间（ket space）及其表象 14

2.左矢空间（bra space）与内积 16

3.算符的运算 18

4.算符的矩阵表示 20

5.若干定理 21

6.自旋1/2系统 23

1-4量子测量 25

1.选择性测量 25

2.期望值 26

1-5相容的可观测量 27

1.可观测量的相容性（compatiblity）与不相容性（non-compatiblity） 27

2.相容的可观测量可具有相同的本征矢组 28

3.简并与去简并 31

4.相容的可观测量的测量 32

1-6互不相容的可观测量 32

1.互不相容的可观测量的测量 32

2.不确定性关系 33

3.表象变换 35

4.幺正等价的可观测量 38

习题 39

第2章 位置算符、空间平移变换与动量算符 42

2-1连续谱与位置算符 42

1.分立谱与连续谱 42

2.位置算符 43

2-2空间平移变换与动量算符 44

1.Hilbert空间中的无穷小平移变换 44

2.Hilbert空间平移变换的产生子 47

3.动量算符 47

2-3基本对易关系与Dirac量子化规则 49

1.位置坐标与动量算符的对易关系 49

2.位置-动量的不确定性关系 49

3.有限平移变换 49

4.基本正则对易关系（Heisenberg正则对易关系） 50

5.动量表象 51

6.Dirac量子化规则 52

2-4 波函数 53

1.位置表象中的波函数 53

2.动量表象中的波函数 55

3.位置表象与动量表象之间的关系 55

习题 59

第3章 空间转动变换和角动量算符 62

3-1空间转动与角动量算符 62

1.三维Euclidian空间的转动及其产生子 62

2.Hilbert空间中的转动与角动量算符 64

3-2自旋角动量算符 66

1.自旋为1/2的自旋角动量分量算符的自旋投影算符表达式 66

2.Pauli旋量 67

3.Pauli旋量的转动 70

3-3自旋1/2系统的转动 73

1.自旋1/2系统转动前后自旋角动量算符的期望值的变化 73

2.自旋进动 75

3.中子干涉 77

3-4 Euler转动 79

1.普通的三维空间中刚体的任意转动 79

2.二维自旋空间的Euler转动 81

3-5 角动量问题的一般解 83

1.角动量阶梯算符 83

2.J2和Jz的本征矢（即（J2，Jz）表象） 84

3.角动量算符的矩阵元 86

4.转动算符？（R）的矩阵元 88

3-6 轨道角动量 90

1.角动量算符对易关系的另一种实现（轨道角动量） 90

2.轨道转动算符坐标态矢的作用 90

3.轨道角动量算符在x表象中的表达式 91

4.球谐函数 95

5.球谐函数作为转动矩阵的矩阵元 98

习题 99

第4章 量子动力学 102

4-1量子体系的时间演化 102

1.时间演化算符 102

2.Hamiltonian作为时间平移变换的产生子 103

3.Schrodinger方程 105

4-2 量子力学三大绘景 105

1.Schrodinger绘景（或称为波动力学） 105

2.时间演化算符的表达式 106

3.Heisenberg绘景（或称为矩阵力学） 107

4.相互作用绘景（Dirac绘景） 109

5.Dyson级数 111

6.基矢与跃迁振幅 113

7.能量本征矢（Schrodinger绘景）与量子力学问题的基本解法 114

4-3能量-时间不确定性关系 116

1.Fourier带宽定理 116

2.关联振幅、幸存概率和能量-时间不确定性关系 117

3.Mandelstarn-Tamm不等式和时间-能量不确定性关系 120

4.与态的半衰期和完全消亡时间有关的不等式 121

4-4 Schrodinger波动方程 123

1.含时Schrodinger波动方程 123

2.定态Schrodinger波动方程 124

3.与波函数有关的物理解释 124

4.束缚态边界条件 127

5.Virial定理 128

6.Hellmann-Feynnan定理 129

4-5简谐振子 129

1.能量本征矢和能量本征值 129

2.Fock空间（或粒子数表象） 131

3.位置表象中的能量本征函数（波函数） 132

4.粒子数表象中可观测量的矩阵元 133

5.简谐振子系统中的位置-动量的不确定性关系 134

6.简谐振子的时间演化（Heisenberg绘景） 135

习题 136

第5章 关于角动量的进一步讨论 140

5-1两个角动量算符的合成 140

1.复合系统（composite system） 140

2.总角动量算符 142

3.可对易的角动量算符的完备集合（两类基矢） 143

5-2 Clebsch-Gordan系数 145

1.Clebsch-Gordan系数的定义及其性质 145

2.Clebsch-Gordan系数的递推关系 149

3.Clebsch-Gordan级数 150

5-3 角动量的Schwinger振子模型 152

1.无耦合简谐振子 152

2.由两类简谐振子的产生和湮没算符构造角动量算符 153

3.构造角动量算符J 2和J z的共同本征态 154

4.约化转动矩阵元的Wigner公式 155

5-4 张量算符 157

1.矢量算符 157

2.Cartesian张量与球张量 159

3.球张量算符 160

4.两个球张量算符的乘积 162

5.张量算符的矩阵元（Wigner-Eckart定理） 164

6.投影定理（Wigner-Eckart定理的应用） 166

习题 168

第6章Galilean变换与非相对论量子力学 170

6-1态矢与可观测量的对称变换 170

1.对称变换 170

2.Wigner定理 171

3.产生子与单参数幺正连续变换 173

附录：Wigner定理的证明 174

6-2态矢与可观测量的Galilean变换 180

1.普通的牛顿时空中的Galilean变换 180

2.Hilbert空间中的Galilean变换 181

3.Galilean变换对波函数的作用 182

6-3 Galilean变换的产生子 183

1.Galilean变换的10个产生子 183

2.Galilean变换的产生子之间的一般对易关系 183

6-4产生子之间的对易关系 184

6-5中心荷 188

1.可用自洽条件确定的中心荷 188

2.可通过重定态矢相位消去的中心荷 189

3.不可能消去的物理中心荷 192

6-6确定动力学变量 193

1.粒子位置算符和速度算符 193

2.一个没有内部自由度的标量粒子的对称变换产生子的具体形式 197

3.一个有自旋的自由粒子的对称变换产生子的具体形式 200

4.一个处于外场中的标量粒子的对称变换产生子的具体形式 201

5.一个没有内部自由度的标量粒子的位置算符Q和动量算符P的不可约性 203

6-7自旋1/2粒子的非相对论波函数 204

1.Schrodinger算符的开方 204

2.非相对论自由粒子的两分量旋量方程 206

6-8经典电磁场中的非相对论1/2旋量粒子（Pauli方程） 207

1.最小耦合原则和局域规范不变性 207

2.Pauli方程 209

6-9自旋-轨道耦合 210

1.自旋为1/2的带电粒子的Hamiltonian 210

2.自旋-轨道耦合的唯象理论 212

3.电子自旋角动量的运动方程 213

4.Thomas自旋进动提供的附加贡献 213

习题 215

第7章 量子力学中的不连续对称性 217

7-1对称性与守恒律 217

1.经典力学中的对称性 217

2.量子力学中的对称性 218

3.对称性与简并 219

4.反幺正算符 219

7-2 空间反演与宇称算符 221

1.空间反演变换及其性质 221

2.态矢和波函数的空间反演 224

7-3时间反演 226

1.时间反演算符及其性质 226

2.态矢和波函数的时间反演 232

3.自旋1/2体系的时间反演 234

4.时间反演下的Hermitian算符的期望值 237

5.与电磁场的相互作用 238

习题 239

第8章 全同性 242

8-1交换对称性 242

1.全同粒子 242

2.交换简并 242

3.交换算符及其性质 243

4.全同多粒子体系 246

8-2 玻色子和费米子 246

1.确定全同多粒子体系状态的困难及避开困难的办法 246

2.Pauli不相容原理与Bose-Einstein凝聚 248

3.全同粒子体系的态矢 248

4.两电子体系 249

8-3 置换对称性与Yong图 252

1.SU （2）群表示和Yong图 252

2.SU（3）群表示和Yong图 255

3.两粒子体系的自旋态的置换对称性 256

8-4 冷固体中的电子 258

1.Sommerfeld自由电子气模型 258

2.Bloch定理与能带结构 260

习题 263

第9章 近似方法 265

9-1定态非简并微扰论 265

1.完全Hamiltonian的本征值问题 265

2.二能级系统 265

3.定态非简并微扰展开 267

4.波函数的归一化 270

5.平方Stark效应 272

9-2定态简并微扰论 275

1.简并情形中的困难与避开困难的方法 275

2.一级能移和简并子Hilbert空间中V的对角化 276

3.扰动后态矢的一级修正 277

4.二级能移 278

5.线性Stark效应（均匀电场中原子能级移动称为Stark效应） 279

9-3精细结构 281

1.表象选择 281

2.两分量自旋角函数 281

3.能级移动（它们形成了能级的精细结构） 285

9-4 Zeeman效应 286

1.弱磁场极限下Zeeman效应（即反常Zeeman效应） 286

2.强磁场极限下的Zeeman效应 288

3.p电子的能级移动与外磁场强度的关系 290

9-5半经典近似（WKB近似） 290

1.定态Schrodinger方程的解 290

2.Kramer连接公式 293

3.束缚态 297

4.势垒贯穿 299

9-6变分法 302

1.基态能必须满足的条件 302

2.Ritz变分法 302

3.Schrodinger变分原理 303

4.线性变分法 304

5.变分法的精度 305

6.变分法的应用 305

9-7氦原子 307

1.微扰计算 307

2.变分法计算 309

3.激发态（全同性的量子效应） 310

习题 313

第10章 散射理论 317

10-1 Lippmann-Schwinger方程 317

1.与时间无关的弹性散射 317

2.Green函数 317

3.动量表象与位置表象中的Lippmann-Schwinger方程 318

4.大距离性状与散射振幅 321

5.散射截面 322

10-2 Born近似 323

1.跃迁算符 323

2.Born 级数 324

3.第一阶Bom近似 325

4.光学定理 327

10-3 Eikonal近似（半经典近似） 329

1.Eikonal近似下的高能粒子的波函数 329

2.Eikonal近似下的散射振幅 331

3.光学定理 332

10-4自由粒子态（平面波与球面波） 332

1.自由粒子态的两种表示 332

2.表象变换矩阵元〈p|E，l，m〉 333

3.平面波｜p〉作为自由球面波的叠加 335

4.｜E，l，m〉在位置表象中的波函数 335

5.衰变产物的角分布 336

10-5分波展开 337

1.球对称势场中的跃迁算符 337

2.球对称势场中的散射振幅 337

3.球对称势场中的分波散射振幅 338

4.对于径向波函数的积分方程 339

10-6散射算符的幺正性与散射相移 340

1.散射算符的幺正性 340

2.分波散射相移 341

3.分波散射截面 341

4.验证光学定理 342

5.Argand图 342

6.Eikonal近似中的相移 343

10-7确定散射相移的方法 345

1.利用径向波函数在分界面上的连续性 345

2.利用径向波函数的对数微商在分界面上的连续性 347

3.利用散射相移的积分方程 347

10-8硬球散射 349

1.散射相移 349

2.S波散射 350

3.低能散射极限 350

4.高能散射极限 352

10-9散射中的对称性 355

1.全同粒子散射 355

2.幺正的对称操作对跃迁算符或散射振幅的作用 358

3.反幺正的对称操作对跃迁算符或散射振幅的作用 359

习题 360

第11章 量子跃迁 364

11-1跃迁振幅和跃迁概率 364

1.跃迁振幅和跃迁概率的概念 364

2.含时微扰论 365

11-2跃迁率与Fermi黄金规则 365

1.常微扰 365

2.谐和微扰 369

11-3光的吸收和受激辐射 371

1.外电磁场中的原子 371

2.光的吸收过程的跃迁率 373

3.光的吸收截面 373

4.电偶极（E1）近似 374

5.选择定则 375

6.Thomas-Reiche-Kuhn求和规则 376

11-4 衰变宽度 376

1.瞬时近似 376

2.浸渐近似 377

3.在浸渐近似下导出Fermi黄金规则 378

4.衰变 378

5.能极移动 380

6.Breit-Wigner共振态公式 381

11-5光电效应 382

1.光电效应中光的吸收截面 382

2.箱归一化 382

3.末态的态密度与吸收微分截面 383

4.跃迁矩阵元 385

习题 385

第12章 散射理论的进一步讨论 388

12-1与时间有关的散射理论体系 388

12-2基于含时微扰论的散射理论 390

1.从含时微扰论导出Fermi黄金规则 390

2.从含时微扰论计算散射截面 390

12-3电子-原子非弹性散射 391

1.弹性散射与非弹性散射 391

2.电子-原子散射微分截面 392

3.原子Coulomb势的矩阵元 393

4.原子的跃迁形状因子 394

5.用跃迁形状因子表示电子-原子散射微分截面 394

6.荷电粒子穿越物质每单位长度的能量损失 395

12-4核形状因子 396

12-5低能散射和束缚态 397

1.球对称势 397

2.阈值性状 398

3.有限深球对称势阱或势垒 399

4.Ramsauer-Townsend效应（1923年） 400

5.零能散射与束缚态 401

6.分波散射振幅的极点与束缚态 403

12-6共振散射 405

1.束缚态和共振态 405

2.Breit-Wigner共振态公式 407

12-7 Coulomb散射 407

1.非全同粒子的Coulomb散射 407

2.全同玻色子的Coulomb散射 412

3.全同费米子的Coulomb散射 412

习题 413

第13章 路径积分量子化与不可积相位 417

13-1路径积分量子化 417

1.Feynman基本假设 417

2.半经典展开 418

3.泛函积分测度 418

4.归一化常数 419

5.一维非相对论粒子的Feynman路径积分量子化 419

6.与等时正则量子化比较 420

7.一维非相对论自由粒子的Feynnan传播子 422

8.导出Schrodinger方程 423

13-2不可积相位与Aharonov-Bohm效应 423

1.圆柱壳盒中的带电粒子 423

2.不可积相位 424

3.Aharonov-Bohm效应 425

13-3磁单极子 427

1.磁单极子的磁场 427

2.磁单极子的矢势 427

3.自洽条件与规范变换 428

4.带电粒子的波函数 428

5.Dirac电荷量子化条件 429

13-4浸渐定理 429

1.浸渐定理的内容 429

2.含时Schrodinger方程解的一般形式 430

3.浸渐定理的证明 431

4.自洽性检验 432

13-5 Berry相位 432

1.Berry几何相位的定义 432

2.Berry相位的规范对称性 433

3.Berry相位赋值公式 434

4.在外磁场中的自旋1/2粒子的Berry相位 435

习题 436

第14章 量子系综 439

14-1密度算符 439

1.极化粒子束和非极化粒子束 439

2.密度算符的定义 440

3.密度算符的性质 440

4.系综的时间演化 441

14-2连续谱表象中的系综 442

1.可观察量在连续谱表象中的系综平均值 442

2.密度矩阵p的一些重要性质 442

3.热平衡系综的密度矩阵 443

4.关于顺磁磁化率x的Brillouin公式 445

14-3粒子束的极化 446

1.极化算符 446

2.散射粒子束的极化 449

3.微分散射截面 450

14-4自旋为1/2的粒子被无自旋靶的散射 451

习题 455

第15章Bell定理及其推论 457

15-1 EPR佯谬 457

15-2自旋关联 457

15-3 Bell不等式 460

1.Bell不等式的推导 460

2.Bell定理（与量子力学比较） 461

3.关于Bell定理的更严格的证明（即基于更少假设的证明） 461

15-4极化关联 463

1.双光子极化关联 463

2.正电子偶素衰变 464

3.激发态原子的j=0→1→0级联辐射 465

4.实验检验 466

15-5不用概率表示的Bell定理 468

1.Kochen-Specker定理 469

2.Bell定理的另一证明 470

15-6关于Bell定理含义的初步讨论 471

习题 473

附录 基本物理常量表 475

参考文献 477

索引 481