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第1章 基础知识 1

1.1 集合 1

1.1.1 集合的概念及表示法 1

1.1.2 集合的运算 3

习题1.1 4

1.2 映射 5

1.2.1 映射的概念 5

1.2.2 映射的运算 7

习题1.2 10

1.3 整数的整除性理论 10

1.3.1 带余除法 10

1.3.2 整除性 11

习题1.3 15

1.4 数学归纳法 16

习题1.4 18

1.5 数域 18

习题1.5 19

第2章 多项式 20

2.1 一元多项式的运算和整除性 20

2.1.1 一元多项式及其运算 20

2.1.2 带余除法 23

2.1.3 整除性 24

习题2.1 26

2.2 最大公因式 27

2.2.1 最大公因式的概念 27

2.2.2 互素多项式 31

习题2.2 33

2.3 因式分解 34

2.3.1 不可约多项式 34

2.3.2 因式分解唯一性定理 35

2.3.3 重因式 37

习题2.3 39

2.4 多项式函数 40

2.4.1 多项式函数理论 40

2.4.2 多项式的零点 41

习题2.4 43

2.5 复系数多项式 44

习题2.5 45

2.6 实系数多项式 46

习题2.6 47

2.7 有理系数多项式 47

习题2.7 52

第3章 行列式 53

3.1 行列式的定义 53

3.1.1 排列 53

3.1.2 二阶行列式和三阶行列式 56

3.1.3 n阶行列式的定义 59

3.1.4 n阶行列式的等价定义 61

习题3.1 62

3.2 行列式的性质 63

习题3.2 70

3.3 行列式按行（列）展开 71

3.3.1 余子式和代数余子式 71

3.3.2 行列式按行（列）展开定理 72

习题3.3 79

3.4 克拉默法则 81

习题3.4 85

第4章 矩阵 86

4.1 矩阵及其运算 86

4.1.1 矩阵的概念 86

4.1.2 矩阵的运算 88

4.1.3 矩阵的转置 93

习题4.1 95

4.2 逆矩阵 96

4.2.1 逆矩阵的定义 96

4.2.2 可逆矩阵的性质 100

习题4.2 101

4.3 分块矩阵 103

4.3.1 分块矩阵的运算 103

4.3.2 分块矩阵的逆矩阵 107

习题4.3 108

4.4 矩阵的初等变换和初等矩阵 109

4.4.1 矩阵的初等变换 109

4.4.2 初等矩阵 109

习题4.4 115

4.5 矩阵的秩 115

4.5.1 矩阵的子式与矩阵的秩 115

4.5.2 矩阵乘积的行列式与秩 121

习题4.5 123

第5章 线性方程组 125

5.1 消元法 125

习题5.1 130

5.2 线性方程组有解的判别法 130

习题5.2 136

5.3 n维向量空间 137

习题5.3 140

5.4 向量的线性相关性 141

5.4.1 向量的线性相关性概念 141

5.4.2 向量组的极大线性无关组 148

习题5.4 156

5.5 线性方程组解的结构 157

5.5.1 齐次线性方程组的基础解系 157

5.5.2 非齐次线性方程组解的结构 162

习题5.5 166

第6章 二次型 168

6.1 二次型及其矩阵表示 168

6.1.1 二次型和对称矩阵 168

6.1.2 矩阵合同 171

习题6.1 172

6.2 二次型的化简 173

6.2.1 二次型的标准形 173

6.2.2 二次型的化简方法 177

习题6.2 182

6.3 复数域和实数域上二次型 182

6.3.1 复数域上二次型的规范形 183

6.3.2 实数域上二次型的规范形 184

习题6.3 186

6.4 正定二次型 186

6.4.1 正定二次型及其判定 186

6.4.2 正定矩阵 188

习题6.4 192

第7章 线性空间 194

7.1 线性空间的定义和性质 194

7.1.1 线性空间的定义 194

7.1.2 线性空间举例 195

7.1.3 线性空间的简单性质 195

习题7.1 196

7.2 线性空间的维数与基 197

7.2.1 向量的线性相关性 197

7.2.2 维数与基 198

习题7.2 200

7.3 基变换与坐标变换 200

7.3.1 过渡矩阵 200

7.3.2 坐标变换 201

习题7.3 204

7.4 线性子空间 205

7.4.1 线性子空间的概念 205

7.4.2 生成子空间 206

7.4.3 子空间的交与和 207

7.4.4 维数公式 209

习题7.4 211

7.5 子空间的直和 212

习题7.5 214

7.6 线性空间的同构 215

习题7.6 217

第8章 线性变换 218

8.1 线性变换及其基本运算 218

8.1.1 线性变换的定义及举例 218

8.1.2 线性变换的基本运算 222

习题8.1 225

8.2 线性变换和矩阵 226

8.2.1 线性变换的矩阵 226

8.2.2 相似矩阵 232

习题8.2 234

8.3 不变子空间 235

8.3.1 定义及例子 235

8.3.2 不变子空间与矩阵化简 237

习题8.3 238

8.4 矩阵的特征值与特征向量 239

8.4.1 特征值与特征向量的概念 239

8.4.2 特征值与特征向量的性质 243

习题8.4 247

8.5 可以对角化的矩阵 248

习题8.5 252

第9章 欧几里得空间 254

9.1 向量的内积 254

9.1.1 欧几里得空间的概念 254

9.1.2 度量矩阵 259

习题9.1 261

9.2 标准正交基 262

9.2.1 正交基的概念 262

9.2.2 施密特正交化 264

9.2.3 正交矩阵 266

习题9.2 268

9.3 欧氏空间的同构 269

习题9.3 270

9.4 正交变换 271

9.4.1 正交变换及其等价定理 271

9.4.2 正交变换的分类 272

习题9.4 273

9.5 子空间 273

9.5.1 正交子空间 273

9.5.2 正交补 274

习题9.5 275

9.6 对称变换和对称矩阵 275

9.6.1 对称变换 275

9.6.2 实对称矩阵的性质 277

9.6.3 实对称矩阵的标准形 278

9.6.4 实二次型的标准形 281

习题9.6 283

习题参考答案与提示 285

参考文献 312