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第1章 实数 1

1.1 实数集合的公理化定义 1

1.2 扩充的数轴 2

第2章 数列与极限 4

2.1 数列及其通项 4

2.2 斐波那契数列及其性质 8

2.3 数列的前n项和Sn 10

2.4 数列的极限 13

2.5 有理数集Q的稠密性 22

2.6 实数集合R的完备性与连续性 23

第3章 函数极限与连续性 24

3.1 函数记号 24

3.2 周期函数 27

3.3 分段函数及其图形 30

3.4 函数极限的另一种定义 34

3.5 关于e是无理数的证明 38

3.6 函数的连续性 39

第4章 导数及其应用 45

4.1 导数与切线的定义 45

4.2 复合函数的导数 49

4.3 隐函数的导数 52

4.4 反函数的导数 55

4.5 由参数确定的函数的导数 55

4.6 微分及其运算 56

4.7 高阶导数 60

4.8 分段函数的连续性与可微性 62

4.9 微分学中值定理 63

4.10 泰勒公式（泰勒中值定理） 70

4.11 洛必达法则 71

4.12 关于函数单调性的一点注记 78

4.13 利用函数单调性证明不等式 80

4.14 曲线的凹凸性与拐点 82

4.15 渐近线定义的注记 88

4.16 利用导数求高次方程的根 89

4.17 导数在几何学中的应用 91

4.18 极值与最值 92

4.19 利用导数作函数图形 100

典型计算题（选摘） 104

第5章 不定积分 113

5.1 不定积分的定义及在初等数学中的应用 113

5.2 积分法的典型计算举例 117

典型计算题（选摘） 120

第6章 定积分 123

6.1 定积分的定义 123

6.2 利用定积分计算求和 127

6.3 有关变上限积分函数的连续性 128

6.4 牛顿-莱布尼茨公式与积分中值定理 129

6.5 积分型函数的微分法与应用 133

6.6 曲率及其应用 136

6.7 绝对可积与黎曼可积 139

6.8 定积分的计算方法 140

6.9 证明积分不等式 143

6.10 定积分大小的比较 145

6.11 积分等式的证明 148

6.12 证明积分恒等式 150

第7章 定积分的应用 153

7.1 在几何中的应用举例 153

7.2 实际应用举例 158

7.3 反常积分 164

第8章 多元函数微分学 168

8.1 Rn空间 168

8.2 函数的极限与连续性 169

8.3 算子符号在高阶偏导数中的应用 178

8.4 全微分 183

8.5 多元复合函数求导典型例题 186

8.6 隐函数求导举例 191

8.7 方向极限与方向导数 197

8.8 对空间曲面的切平面的注释 200

8.9 n元函数的泰勒公式 202

8.10 多元函数的极值 203

第9章 重积分 213

9.1 二重积分的定义 213

9.2 二重积分的计算 216

9.3 二重积分的换元法 226

9.4 三重积分的计算 234

9.5 质心坐标 242

9.6 n重积分 244

9.7 雅可比行列式在重积分中的应用 249

9.8 关于n元函数反常积分的定义 255

9.9 含参变量的积分 256

第10章 曲线积分与曲面积分 263

10.1 两类曲线积分及其计算 263

10.2 关于曲线积分中值定理的注释 270

10.3 关于第二类平面曲线积分的注释 271

10.4 格林公式及其应用 271

10.5 两类曲面积分及其计算 277

10.6 高斯公式与斯托克斯公式 286

10.7 雅可比行列式在曲面积分中的应用 295

第11章 无穷级数 299

11.1 数项级数 299

11.2 正项级数（或非负项级数）的收敛性 300

11.3 变号级数的绝对收敛与条件收敛 305

11.4 函数项级数 308

11.5 幂级数典型例题 312

11.6 利用幂级数近似计算初等函数值 318

11.7 级数与数列的求和法 323

11.8 傅里叶级数 325

11.9 广义函数的概念 334

第12章 微分方程 337

12.1 微分方程的基本概念 337

12.2 一阶微分方程 343

12.3 存在和唯一性定理 356

12.4 可降阶的高阶微分方程 360

12.5 高阶线性微分方程 364

12.6 常系数齐次线性微分方程 371

12.7 常系数非齐次线性微分方程 376

12.8 欧拉方程 382

12.9 常微分方程组 385

12.10 对称方程组 392

参考文献 395