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第1章 复数与复平面 1

1.1复数 1

1.1.1复数的概念 1

1.1.2复数的模与辐角 1

1.1.3复数的三角表示与指数表示 4

1.2复数的运算及几何意义 4

1.2.1复数的加法和减法 4

1.2.2复数的乘法和除法 5

1.2.3复数的乘方和开方 7

1.2.4共轭复数的运算性质 9

1.3平面点集 10

1.3.1点集的概念 10

1.3.2区域 11

1.3.3平面曲线 12

1.3.4单连通区域与多连通区域 12

1.4无穷远点与复球面 13

1.4.1无穷远点 13

1.4.2复球面 14

本章小结 14

综合练习题1 15

第2章 解析函数 17

2.1复变函数及其相关概念 17

2.1.1复变函数的概念 17

2.1.2复变函数的极限与连续 18

2.2解析函数及其相关概念 21

2.2.1复变函数的导数 21

2.2.2解析函数的概念 22

2.2.3求导运算的法则 23

2.3柯西—黎曼条件 24

2.3.1函数可导的充分必要条件 24

2.3.2函数在区域内解析的充分必要条件 26

2.4初等函数 27

2.4.1指数函数 28

2.4.2对数函数 29

2.4.3幂函数 31

2.4.4三角函数与反三角函数 31

2.4.5双曲函数与反双曲函数 33

本章小结 34

综合练习题2 37

第3章 复积分 39

3.1复变函数的积分 39

3.1.1复变函数积分的概念 39

3.1.2复积分的存在性及其计算 40

3.1.3复积分的基本性质 43

3.2柯西—古萨定理及其推广 43

3.2.1柯西—古萨定理 43

3.2.2柯西—古萨定理的推广 45

3.2.3原函数与不定积分 47

3.3柯西积分公式和高阶导数公式 49

3.3.1柯西积分公式及最大模原理 49

3.3.2解析函数的高阶导数 51

3.4解析函数与调和函数的关系 53

3.4.1调和函数与共轭调和函数的概念 53

3.4.2解析函数与共轭调和函数的关系 54

本章小结 57

综合练习题3 59

第4章 级数 61

4.1复数项级数 61

4.1.1复数序列的极限 61

4.1.2复数项级数 61

4.2幂级数 64

4.2.1复变函数项级数 64

4.2.2幂级数 65

4.2.3幂级数的收敛圆与收敛半径 66

4.2.4幂级数的性质 68

4.3泰勒级数 70

4.3.1解析函数的泰勒展开式 70

4.3.2几个典型初等函数的泰勒展开式 71

4.4洛朗级数 73

4.4.1函数在圆环形解析域内的洛朗展开式 73

4.4.2函数展开成洛朗级数的间接展开法 77

本章小结 80

综合练习题4 82

第5章 留数及其应用 84

5.1孤立奇点和零点 84

5.1.1孤立奇点的定义及性质 84

5.1.2零点 87

5.1.3无穷远点为孤点奇点 90

5.2留数 91

5.2.1留数及其相关概念 91

5.2.2无穷远点的留数 94

5.3留数定理 95

5.4留数在定积分计算中的应用 98

5.4.1形如∫2π0R（cos θ， sin θ）dθ的积分 98

5.4.2形如∫+∞-∞R（x）dx的积分 100

5.4.3形如∫R（x）eiax dx （a＞0）的积分 102

本章小结 103

综合练习题5 105

第6章 保形映射 107

6.1保形映射的概念及其性质 107

6.1.1保形映射的概念 107

6.1.2几何特性 109

6.1.3几个重要的保形映射 112

6.2分式线性映射 113

6.2.1分式线性映射的定义 113

6.2.2分式线性映射的特性 116

6.2.3上半平面与单位圆的分式线性映射 119

本章小结 122

综合练习题6 123

第7章 傅里叶变换 125

7.1傅里叶变换的概念 125

7.1.1傅里叶级数与傅里叶积分公式 125

7.1.2傅里叶变换 128

7.2单位脉冲函数 131

7.2.1单位脉冲函数的概念及其性质 131

7.2.2单位脉冲函数的傅里叶变换 132

7.3傅里叶变换的性质 133

7.3.1基本性质 134

7.3.2卷积与卷积定理 136

本章小结 139

综合练习题7 141

第8章 拉普拉斯变换 142

8.1拉普拉斯变换的概念 142

8.1.1拉普拉斯变换的定义 142

8.1.2拉普拉斯变换存在定理 144

8.2拉普拉斯变换的性质 145

8.2.1线性与相似性 145

8.2.2延迟与位移性质 146

8.2.3微分性质 148

8.2.4积分性质 150

8.2.5初值定理和终值定理 151

8.2.6卷积与卷积定理 153

8.3拉普拉斯逆变换 154

8.3.1反演积分公式 154

8.3.2利用留数计算像原函数 155

8.4拉普拉斯变换的应用 157

8.4.1求解常微分方程 157

8.4.2实际应用举例 158

本章小结 160

综合练习题8 161

第9章 快速傅里叶变换 163

9.1序列傅里叶（SFT）变换 163

9.1.1序列傅里叶变换（SFT）及其逆变换（ISFT）的定义 163

9.1.2序列傅里叶变换（SFT）的性质 164

9.1.3序列傅里叶变换（SFT）的Matlab实现 165

9.2 Z变换简介 165

9.2.1 Z变换的定义 165

9.2.2单边Z变换 166

9.2.3 Z变换及其反变换的计算 167

9.3离散傅里叶（DFT）变换 167

9.3.1有限序列的离散傅里叶变换 167

9.3.2离散傅里叶变换（DFT）与序列傅里叶变换（SFT）的关系 168

9.3.3 DFT与Z变换的关系 169

9.4快速傅里叶变换 170

9.4.1时分算法 170

9.4.2频分算法 174

9.4.3 Matlab的实现 177

本章小结 178

综合练习题9 178

习题参考答案 180

附录 184

附录1区域变换表 184

附录2傅里叶变换简表 189

附录3拉普拉斯变换简表 192

附录4 Z变换表 197

参考文献 198