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绪论 1

第一章 函数 4

1-1 预备知识 4

一、常量和变量 4

二、区间 4

三、绝对值与绝对值不等式 5

四、邻域 7

习题1-1 9

1-2 函数 10

一、函数概念 10

二、函数的表示法 13

三、分段函数 14

习题1-2 15

1-3 函数的特性 16

一、函数的有界性 16

二、函数的单调性 17

三、函数的奇偶性 18

四、函数的周期性 19

习题1-3 19

1-4 反函数 20

习题1-4 22

1-5 基本初等函数 23

习题1-5 33

1-6 复合函数与初等函数 34

一、复合函数 34

二、初等函数 37

习题1-6 37

1-7 建立函数关系式 38

习题1-7 39

1-8 参数方程 40

习题1-8 43

学习指导 43

一、重难点剖析 43

二、解题方法技巧 44

三、典型例题分析 45

复习题一 48

课外阅读 天才在于积累，聪明在于勤奋——自学成才的华罗庚 52

第二章 函数极限 53

2-1 预备知识 53

一、数列的概念 53

二、数列的求和问题 54

三、数列的特性 57

习题2-1 58

2-2 数列的极限 59

一、数列极限的概念 59

二、收敛数列极限的四则运算法则 65

三、数列极限的有关定理 67

习题2-2 68

2-3 函数极限 69

一、函数极限的概念 69

二、函数极限的性质 74

习题2-3 74

2-4 无穷小量与无穷大量 75

一、无穷小量 75

二、无穷大量 76

习题2-4 77

2-5 函数极限的运算法则 77

一、函数极限的四则运算法则 78

二、复合函数的极限运算法则 81

习题2-5 81

2-6 两个重要极限 82

一、第一个重要极限lim x→0 sinx/x=1 82

二、第二个重要极限lim x→∞(1+1/x)x=e 83

习题2-6 84

2-7 无穷小量的比较 85

一、无穷小量的阶的比较 85

二、利用无穷小量等价替换求极限 86

习题2-7 87

学习指导 88

一、重难点剖析 88

二、解题方法技巧 89

三、典型例题分析 91

复习题二 101

课外阅读 极限思想 103

第三章 函数的连续性 106

3-1 函数的连续性与间断点 106

一、函数连续性的概念 106

二、函数的间断点及其分类 110

三、连续函数求极限的简便法则 113

习题3-1 113

3-2 连续函数的运算与初等函数的连续性 114

一、连续函数的四则运算 114

二、反函数的连续性 115

三、复合函数的连续性 115

四、初等函数连续性 116

习题3-2 118

3-3 闭区间上连续函数的性质 119

一、有界性定理 119

二、最大值和最小值定理 119

三、介值定理 120

习题3-3 121

学习指导 122

一、重难点剖析 122

二、解题方法技巧 123

三、典型例题分析 123

复习题三 128

课外阅读 转化思想 130

第四章 导数与微分 134

4-1 导数的概念 135

一、导数起源 135

二、导数定义及几何意义 136

三、单侧导数 138

四、函数可导与连续的关系 138

习题4-1 139

4-2 导函数及其四则运算法则 139

一、导函数概念 140

二、导数的四则运算法则 142

习题4-2 143

4-3 复合函数的链式求导法则 143

一、导数记号 143

二、链式求导法则 145

三、链式法则的具体应用方法 146

习题4-3 148

4-4 特殊求导法则 149

一、反函数求导 149

二、隐函数求导 149

三、取对数技巧求导 150

四、高阶导数 151

习题4-4 152

4- 5微分 153

一、微分概念 153

二、微分的几何意义 153

三、微分运算 154

四、一阶微分形式的不变性 154

五、微分在近似计算上的应用 155

习题4-5 156

学习指导 156

一、重点难点剖析 156

二、解题方法技巧 157

三、典型例题分析 158

复习题四 162

课外阅读 第二次数学危机 164

第五章 中值定理与导数应用 166

5-1 中值定理 166

一、罗尔中值定理 166

二、拉格朗日中值定理 168

三、柯西中值定理 171

习题5-1 173

5-2 洛必达法则 174

一、0/0型未定式 174

二、∞/∞型未定式 176

三、其他类型的未定式 177

习题5-2 179

5-3 导数在研究函数上的应用 180

一、函数的单调性 180

二、函数的极值 182

三、函数的最值 185

四、曲线的凹向与拐点 187

五、函数图像的描绘 188

习题5-3 191

学习指导 192

一、重难点剖析 192

二、解题方法技巧 193

三、典型例题分析 194

复习题五 196

课外阅读 199

一、贫困的数学家——罗尔 199

二、欧洲最大的数学家——拉格朗日 199

三、柯西 200

四、洛必达 201

第六章 不定积分 203

6-1 不定积分 203

一、原函数与不定积分的概念 203

二、不定积分的性质与基本积分公式 205

习题6-1 207

6-2 换元积分法 208

一、第一换元积分法 208

二、第二换元积分法 211

习题6-2 215

6-3 分部积分法 215

习题6-3 220

6-4 有理函数的不定积分 220

一、代数的预备知识 220

二、有理函数的不定积分 222

习题6-4 223

学习指导 223

一、重难点剖析 223

二、解题方法技巧 224

三、典型例题分析 226

复习题六 232

课外阅读 历史插曲：牛顿与莱布尼兹的争论 234

第七章 定积分 236

7-1 定积分的概念 236

一、引例 236

二、定积分的定义 238

三、可积条件 239

四、定积分的几何意义 242

习题7-1 243

7-2 定积分的性质 244

一、定积分的线性性质 244

二、定积分对积分区间的可加性 245

三、与定积分的估计有关的性质 245

四、定积分的中值定理 246

习题7-2 247

7-3 微积分学基本定理 248

一、积分上限函数及其导数 248

二、牛顿—莱布尼兹公式 250

习题7-3 251

7-4 定积分的换元积分法与分部积分法 252

一、定积分的换元积分法 252

二、定积分的分部积分法 256

习题7-4 257

7-5 定积分的应用 258

一、平面图形的面积 258

二、平面曲线的弧长 261

三、旋转体的体积 262

四、变速直线运动经过的路程 264

五、变力所做的功 264

习题7-5 267

学习指导 268

一、重难点剖析 268

二、解题方法技巧 269

三、典型例题分析 270

复习题七 272

课外阅读 积分学发展简史——从黎曼积分到勒贝格积分 274

第八章 微积分思想作文 279

8-1 数学思想作文导论 279

一、数学思想与数学作文 279

二、数学思想作文辅导 279

习题8-1 283

8-2 微积分思想作文示例 283

一、极限思想作文 283

二、恒等变换思想作文 289

三、构造思想作文 294

四、建模思想作文 296

五、化归思想作文 298

习题8-2 304

8-3 自由作文 305

习作举例之一 计算机与数学 305

习作举例之二 教室日光灯应如何排列 310

习作举例之三 究其本，以明其身——记学习微积分的一则感悟 312

习作举例之四 微积分中的数学美 314

习题8-3 317

课外阅读 数学思想方法与语文修辞手法的联系 318

习题参考答案 326

附录一 常用的初等数学基本知识 346

附录二 导数与微分公式法则对照表 352

附录三 简易积分表 354

参考文献 360