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第一章 几何向量及其应用 1

1.1向量及其线性运算 1

1.1.1向量的概念 1

1.1.2向量的线性运算 2

1.1.3向量的共线与共面 4

习题1.1 5

1.2内积、外积和混合积 6

1.2.1向量的内积 6

1.2.2向量的外积 7

1.2.3向量的混合积 8

习题1.2 9

1.3向量及其运算的坐标表示 9

1.3.1仿射坐标系 9

1.3.2空间直角坐标系 10

1.3.3向量运算的坐标表示 11

习题1.3 16

1.4平面及其方程 17

1.4.1平面的点法式方程 17

1.4.2平面的一般式方程 18

1.4.3两个平面间的相互位置 19

习题1.4 20

1.5空间直线及其方程 21

1.5.1空间直线的对称式方程与参数方程 21

1.5.2空间直线的一般方程 22

1.5.3空间直线的位置关系 23

1.5.4直线与平面的位置关系 26

习题1.5 27

第二章 线性方程组与矩阵的运算 29

2.1线性方程组与矩阵的基本概念 29

2.1.1线性方程组的相关概念 29

2.1.2线性方程组的矩阵表示 30

2.1.3方程组和矩阵的初等变换 33

习题2.1 37

2.2解方程组 38

2.2.1阶梯形矩阵 38

2.2.2方程组解的判定 40

2.2.3把矩阵化为简化阶梯形矩阵 43

习题2.2 45

2.3矩阵的线性运算和乘法 47

2.3.1矩阵的加法和数乘 48

2.3.2方程组解的向量表示 50

2.3.3矩阵的乘法 50

2.3.4矩阵乘法的应用 54

2.3.5矩阵的转置 56

习题2.3 57

2.4分块矩阵 58

2.4.1分块矩阵的概念 59

2.4.2分块矩阵的运算 60

2.4.3分块矩阵的应用 62

习题2.4 65

第三章 行列式与矩阵 66

3.1行列式 66

3.1.1 2元线性方程组与2阶行列式 66

3.1.2n阶行列式 68

3.1.3拉普拉斯展开定理 71

3.2行列式的性质与计算 73

3.2.1行列式的主要性质 73

3.2.2矩阵的行列式运算性质 77

习题3.2 78

3.3逆矩阵 79

3.3.1逆矩阵的定义 79

3.3.2矩阵可逆的充要条件 82

3.3.3可逆矩阵的性质 85

3.3.4抽象矩阵的逆矩阵计算 86

习题3.3 87

3.4克莱姆法则 87

习题3.4 89

3.5矩阵的秩 89

3.5.1秩的定义 89

3.5.2秩的计算 90

习题3.5 92

3.6初等变换的矩阵解释 93

3.6.1初等矩阵 93

3.6.2左行右列准则 94

3.6.3逆矩阵的初等变换求法 96

3.6.4矩阵方程 98

3.6.5矩阵的等价 99

习题3.6 99

3.7方程组解的判断 100

习题3.7 103

附录：定理的证明 103

第四章 向量组的线性相关性 108

4.1向量组及线性组合 108

4.1.1向量组与矩阵 108

4.1.2线性组合与线性表示 110

习题4.1 114

4.2线性相关与线性无关 115

4.2.1线性相关性的定义与判定 115

4.2.2线性相关性的性质 118

习题4.2 120

4.3向量组的极大无关组与秩 120

4.3.1等价向量组 121

4.3.2极大无关组 122

4.3.3秩的性质与计算 124

习题4.3 126

4.4向量空间、基和维数 127

4.4.1向量空间 127

4.4.2向量空间的基和维数 128

习题4.4 132

4.5线性方程组解的结构 133

4.5.1齐次方程组的基础解系 133

4.5.2非齐次方程组解的结构 137

4.5.3方程组解的结构的应用 139

习题4.5 139

附录：定理的证明 140

第五章 特征值与特征向量 142

5.1向量的内积、长度和施密特正交化 142

5.1.1内积、长度与正交性 142

5.1.2正交投影 145

5.1.3标准正交基 146

5.1.4施密特正交化方法 147

5.1.5正交矩阵 150

习题5.1 151

5.2特征值与特征向量 152

5.2.1特征值与特征向量的定义 152

5.2.2特征值与特征向量的计算 153

5.2.3特征值与特征向量的性质 155

习题5.2 157

5.3相似矩阵与对角化 158

5.3.1相似矩阵的定义与性质 158

5.3.2矩阵的对角化 158

习题5.3 162

5.4实对称矩阵的对角化 163

5.4.1实对称矩阵的性质 163

5.4.2实对称矩阵的对角化 164

习题5.4 167

附录：定理的证明 167

第六章 二次型 169

6.1二次型的定义和矩阵表示、矩阵的合同 169

6.1.1二次型的定义和矩阵表示 170

6.1.2矩阵的合同 172

习题6.1 173

6.2二次型化为标准形的方法 174

6.2.1正交变换法 174

6.2.2拉格朗日配方法 177

习题6.2 179

6.3实二次型的分类、正定矩阵 180

6.3.1二次型的规范形、惯性定理 180

6.3.2二次型的分类 181

6.3.3正定矩阵的等价条件 181

习题6.3 184

第七章 线性空间与线性变换 185

7.1线性空间 185

7.1.1线性空间的定义与性质 185

7.1.2线性空间的基与坐标 186

7.1.3线性子空间的和与直和 188

习题7.1 190

7.2线性映射 190

7.2.1线性映射的定义与性质 190

7.2.2线性映射的像空间与核空间 192

7.2.3同构映射与线性空间的同构 193

7.2.4线性映射的矩阵表示 194

7.2.5线性变换 196

习题7.2 199

7.3欧氏空间 200

7.3.1欧氏空间的概念与性质 201

7.3.2正交变换与对称变换 206

习题7.3 209

参考文献 211