高等代数考研教案 北大 第3版PDF电子书下载

第1章 多项式 1

1.1 知识脉络图解 1

1.2 重点、难点解读 2

1.3 典型例题解析 2

1.3.1 数域的判定 2

1.3.2 一元多项式的概念 3

1.3.3 多项式的带余除法及整除 7

1.3.4 最大公因式的计算与证明 13

1.3.5 互素多项式的判定与证明 15

1.3.6 不可约多项式的判定与证明 18

1.3.7 重因式的判定与证明 22

1.3.8 多项式函数与多项式的根 25

1.3.9 重要数域上多项式的因式分解 34

1.3.10 多元多项式的概念 35

1.3.11 化对称多项式为初等对称多项式的多项式 37

第2章 行列式 44

2.1 知识脉胳图解 44

2.2 重点、难点解读 44

2.3 典型例题解析 45

2.3.1 逆序数与行列式定义 45

2.3.2 可直接利用性质计算的行列式 48

2.3.3 两条线型行列式的计算 51

2.3.4 箭形行列式的计算 57

2.3.5 三对角行列式的计算 57

2.3.6 Hessenberg型行列式的计算 60

2.3.7 计算行（列）和相等的行列式 61

2.3.8 可采用升阶法计算的行列式 63

2.3.9 相邻行（列）元素差1的行列式计算 65

2.3.10 范德蒙型行列式的计算 66

2.3.11 行列式乘法公式及应用 70

2.3.12 求解行列式方程 71

2.3.13 有关代数余子式的计算 73

2.3.14 克拉默法则的应用 76

2.3.15 行列式计算杂例 82

第3章 线性方程组 87

3.1 知识脉胳图解 87

3.2 重点、难点解读 87

3.3 典型例题解析 88

3.3.1 用消元法求解线性方程组 88

3.3.2 求具体矩阵的秩 92

3.3.3 具体向量组线性相关性的判定 94

3.3.4 向量由向量组线性表出的判定与证明 98

3.3.5 抽象向量组线性相关性的判定与证明 106

3.3.6 求向量组的秩与极大无关组 113

3.3.7 求齐次线性方程组的基础解系 117

3.3.8 含参数线性方程组的求解 125

3.3.9 抽象线性方程组的求解 133

3.3.10 线性方程组有解的判定 138

3.3.11 求两个线性方程组的公共解 144

3.3.12 线性方程组杂例 147

3.3.13 结式与两个一元多项式的公因式 151

3.3.14 二元高次方程组的求解 153

第4章 矩阵 155

4.1 知识脉胳图解 155

4.2 重点、难点解读 155

4.3 典型例题解析 156

4.3.1 矩阵乘法与可交换矩阵 156

4.3.2 求抽象矩阵的行列式 159

4.3.3 求方阵的幂 165

4.3.4 具体矩阵的可逆性判别及求逆矩阵 172

4.3.5 求抽象矩阵的逆矩阵 177

4.3.6 求解矩阵方程 180

4.3.7 涉及伴随矩阵的计算与证明 184

4.3.8 求抽象矩阵的秩 187

4.3.9 初等变换与初等矩阵 190

4.3.10 分块初等矩阵及应用 193

4.3.11 有关矩阵秩的证明 196

4.3.12 矩阵计算杂例 198

第5章 二次型 200

5.1 知识脉胳图解 200

5.2 重点、难点解读 200

5.3 典型例题解析 201

5.3.1 二次型的矩阵表示 201

5.3.2 用可逆线性变换化二次型为标准形 203

5.3.3 矩阵合同的判定与求法 208

5.3.4 求具体矩阵的特征值与特征向量 214

5.3.5 求抽象矩阵的特征值 221

5.3.6 方阵可对角化的判定、计算及应用 224

5.3.7 由特征值或特征向量反求矩阵中的参数 236

5.3.8 由特征值和特征向量反求矩阵 239

5.3.9 有关特征值与特征向量的证明 242

5.3.10 相似矩阵的判定与证明 244

5.3.11 正交矩阵的判定与证明 247

5.3.12 实对称矩阵正交相似于对角矩阵的计算 250

5.3.13 用正交变换化二次型为标准形 253

5.3.14 正定矩阵的判定与证明 260

5.3.15 由正定矩阵证明其它结论 268

5.3.16 二次型杂例 271

第6章 线性空间 273

6.1 知识脉胳图解 273

6.2 重点、难点解读 273

6.3 典型例题解析 274

6.3.1 线性空间的判定 274

6.3.2 线性子空间的判定 278

6.3.3 元素组线性相关性的判别 280

6.3.4 求元素组的秩与极大无关组 284

6.3.5 求线性（子）空间的基与维数 285

6.3.6 求子空间的交与和的基与维数 294

6.3.7 求过渡矩阵及坐标 298

6.3.8 子空间直和的判定与证明 303

6.3.9 线性空间同构的判定与证明 307

第7章 线性变换 309

7.1 知识脉胳图解 309

7.2 重点、难点解读 309

7.3 典型例题解析 310

7.3.1 线性变换的判定与证明 310

7.3.2 求线性变换的矩阵 313

7.3.3 线性变换的运算及相应的矩阵 319

7.3.4 求线性变换的值域与核 325

7.3.5 求线性变换的特征值与特征向量 333

7.3.6 化简线性变换的矩阵 337

7.3.7 不变子空间的判定与证明 341

第8章 λ-矩阵 346

8.1 知识脉胳图解 346

8.2 重点、难点解读 346

8.3 典型例题解析 347

8.3.1 λ-矩阵的有关概念与计算 347

8.3.2 求λ-矩阵的行列式因子 351

8.3.3 求λ-矩阵的Smith标准形、不变因子和初等因子 353

8.3.4 λ-矩阵等价的判定与证明 357

8.3.5 相似矩阵的判定与证明 358

8.3.6 求矩阵的Jordan标准形和有理标准形 361

8.3.7 求相似变换矩阵 369

8.3.8 Jordan标准形应用举例 372

8.3.9 最小多项式的求法及有关证明 375

8.3.10 Hamilton-Cayley定理及最小多项式应用举例 380

第9章 欧几里得空间 388

9.1 知识脉胳图解 388

9.2 重点、难点解读 388

9.3 典型例题解析 389

9.3.1 内积的构造、判定与证明 389

9.3.2 标准正交基的求法 397

9.3.3 正交补空间的计算与证明 402

9.3.4 正交变换与对称变换的判定与证明 408

9.3.5 化简对称变换的矩阵 414

9.3.6 酉空间的有关结果 416

第10章 双线性函数与辛空间 423

10.1 知识脉胳图解 423

10.2 重点、难点解读 423

10.3 典型例题解析 424

10.3.1 线性函数及其对偶空间 424

10.3.2 双线性函数及其度量矩阵 430

10.3.3 对称双线性函数的判定及度量矩阵的化简 434

10.3.4 反对称双线性函数的有关结果 439

附录 443

西北工业大学高等代数课程考试真题及解答 443

A卷（Ⅰ） 443

A卷（Ⅰ）参考解答 444

A卷（Ⅱ） 446

A卷（Ⅱ）参考解答 447

B卷（Ⅰ） 449

B卷（Ⅰ）参考解答 450

B卷（Ⅱ） 452

B卷（Ⅱ）参考解答 454

C卷（Ⅰ） 456

C卷（Ⅰ）参考解答 458

C卷（Ⅱ） 461

C卷（Ⅱ）参考解答 462

西北工业大学硕士研究生入学考试高等代数真题及解答 467

2007年试题 467

2007年试题参考解答 468

2008年试题 473

2008年试题参考解答 475

2009年试题 481

2009年试题参考解答 482